很喜欢一首歌的一句歌词“光落在你脸上”，每次听到这一句，我都不自然的觉得下联应该是“有无限种可能”。感叹光线千变万化之余，更神奇的是，所谓的千变万化，其实只有两种可能的无限组合：反射(reflection)和折射(refraction)，其中反射又可以分为漫反射(diffuse)和镜面反射(specular)。
上图就是光线示意图，I是射入人眼的光线，L是光源，R和P分别是镜面反射和折射，而漫反射的方向则是一个随机分布的概率。能想象到大家的失望，扯了这么高大上，最后只是一个初中物理的概念。
Phong Model
有了原理，接下来的问题就是如何量化光的强度(intensity)。目前Rasterization中最常用的就是Phong模型，对应的公式如下，其中I(a)是自发光，或者反射周围的环境光；k(d)属于漫反射的部分，强度是物体法线和光源夹角的余弦值；k(s)是镜面反射，强度是上图θ(h)的余弦值：
该模型的具体解释可以参考《Real-Time Rendering》第三版Shading章节。该模型在镜面反射的处理上进行了简化，比如反射来源正好是一处光源，或者正好是一面镜子，这些因素都没有考虑。其次，阴影和折射需要另行计算。
Whitted-Style Ray Tracing
基于Phong模型，Whitted提出了一个新的模型，公式如下：
如下图，该模型对漫反射的处理和Phong一致，但如果物体材质存在镜面反射或折射，也就是S和T的部分，则会创建新的射线来计算对应的强度。
该模型在理论上考虑到反射和折射，自然更能准确的计算光的强度，同时，当射线与物体相交是，也会判断该交点和光源之间是否存在遮盖，用于处理阴影效果。
Distributed ray tracing
在Whitted Ray tracing中都是针对点的采样。这样存在两个问题，第一，可能会遗漏微小物体的特征，第二，无法对面积类的物体进行采样。如下图，我们把光源抽象为一个点，但现实中的光源都是有面积和方向的，如左侧，会出现部分可见部分不可见的情况，所以会有soft shadow的效果。
针对上面这个问题，我们可以增加更多的射线，获取更精确的结果。但有两点，第一，性能上不划算，第二，不知道需要增加多少射线才能满足要求。这就好比很多人认为需要更多的钱才能更幸福是一个意思。
Distributed ray tracing的核心思想就是在等量的射线下，让射线的方向具备一定的随机性，从而高效的模拟渲染结果。本质上就是Monte Carlo integration。比如面积光的可见率，我们并不需要真的计算该点对应光源的可见率，我们只是随机生成一条射线，如果没有遮盖物阻挡，则可见率是100%，再随机生成一条射线，如果这次被阻挡了，可见率下降为50%，因为每次射线都有一定的随机微调，每次更新都会让结果更为准确。这样，我们不断的优化随机分布的概率，只需要尽可能少的射线就能获取比较准确的可见率，进而提高渲染效率，同时，这种精度的提高是叠加的，不需要事先设置采样精度。
在渲染中引入概率，不仅可以提高效率，还能实现一些无法做到的效果。比如我们把像素细化到亚像素级别，这样像素便有了面积，通过随机采样，可以实现反走样的效果；如果把这种随机应用到时间的维度，则可以模拟出Motion Blur的效果；在相机的pinhole中引入随机，可以模拟Depth of field；物体反射方向中采用Cone的随机分布，则可以模拟物体glossy的效果。
Rendering Equation
随着对光照模型的不断优化，最终，我们还是找到了完美的光照模型，我们通常称之为RenderingEquation：
该公式给出了光照强度的完美定义：光的强度取决于自身发光的强度L(E)和其他表面传输到该点并反射到眼睛的强度(积分部分)。
首先，这个公式是可以数学推导，精准无误的，而之前的Phone模型和Whitted Ray Tracing模型都可以认为是该公式的一种约等，比如该公式对应的Phong模型示意如下，考虑了光源抵达x点并反弹到人眼s的光强：
而对应的Whitted模型示意如下，不仅考虑了光源，还考虑了镜面反射S和折射T的积分部分：
有了该理论，我们可以自定义自己的光照模型。采用合理且高效的采样方式，离散化的计算光照强度。
如上图，Ray Tracing中，一条连接光源的射线，还会有反射(漫反射，镜面反射)和折射两条射线，并不断递归，比如限制递归的Depth为8。但很明显，通常第一次的射线贡献的强度最大，依次递减。因此，Ray Tracing会有这样一个问题：越深便会创建越多的射线，而这些射线对最终的强度贡献很小，性价比很低，如左侧。于是，不妨在每次创建新的射线时，我们遵从合理的概率，只随机生成一条新的射线（可能是反射或折射），同时保留和光源连接的射线，如右侧，减少创建射线的次数，形成一条Path，如果场景中存在很多镜面反射和折射材质的物体，这种策略在性能上会有很大的提升，这就是Path Tracing的思想。基于Path Tracing，人们想到了很多variance reduction方式，提高收敛速度。
总结
光线追踪是一种简单且强大的渲染技术，相比Rasterization，性能是该技术的一个瓶颈。采用适合的概率分布，可以更快的模拟渲染效果，因此，从数学的角度，渲染中充满了概率问题。
当然，借助GPU也能极大的提高性能，但Ray Tracing从CPU迁移到GPU，也面临很多的挑战，技术上是否可行，GPU中的性能瓶颈是什么，如何抽象出适合ray tracing的pipeline，这些问题我们有(下)时(一)间(篇)再介绍。
