之前总结的大部分模型都是基于正态性的假设，但实际上，正态性假设并不非常符合金融时间序列的特征。如果从其他分布假设出发，对于单个资产来说，已经有t-garch等模型可以用于波动率建模，相对容易，但对于资产组合来说，多元正态具有边际分布及线性组合也符合多元正态分布的良好性质，但多元t分布，多元渐进t分布等就不具有这么好的性质，因此需要一些新的模型来解决这一问题，本文总结一种可以用于资产组合分布建模的方法：Copula模型，通过Copula模型描述出组合的分布后，就可以利用之前蒙特卡洛的方法估计组合VaR。
1. 资产组合VaR建模方法回顾
文章中总结了通过DCC模型估计组合向前一日VaR的方法，整体思路如下：
- 通过Garch族模型估计各资产的波动率
- 通过DCC模型估计各资产间的相关系数，结合1得到资产组合的协方差矩阵
- 在各资产正态性假设的前提下，可以知道资产组合也服从正态分布，并且均值与协方差阵已在1,2中计算得到
- 在已知组合中各但资产权重w的情况下，根据下式计算组合VaR
文章中总结了通过蒙特卡洛方法估计组合向前K日VaR的方法，也可以仅计算组合向前一日VaR（本文只考虑向前1日的情况），文章中也对比了蒙特卡洛方法与DCC方法得到的结果，差异并不大。蒙特卡洛方法的思路如下：
- 根据Garch族模型估计资产的波动率
- 根据DCC模型估计组合的相关系数
- 在1,2的基础上，在正态性假设前提下，得到组合的分布函数，对组合收益率进行模拟，在给定各资产权重w的情况下，可以得到组合的总收益
- 重复1-3若干次，可以得到组合总收益的模拟序列，类似HS方法，取p分位数即可
可以看出不论是DCC模型还是蒙特卡洛方法，都是在正态性假设的前提下，得到组合的分布函数再进行求解。事实上，也可以类比多元正态的概念构建多元t分布和多元渐进t分布，假设组合服从这样的分布，求出分布的参数后，再用蒙特卡洛方法进行模拟，这些理论依据已经很成熟，推导过程见文献[1]，这里不再赘述。
但需要说明的是，多元t分布和多元渐近t分布都没有边际分布和线性组合依然多元t或者多元渐近t的性质。回忆多元正态的情况下，为了生成多元正态随机数，实际上是先产生不相关的n组一元正态随机数向量，然后通过cholesky分解转换为符合给定相关系数矩阵的组合收益率模拟序列。如果组合的分布不具有类似多元正态的性质，要根据分布函数模拟组合收益就比较困难，必须直接通过多元分布函数产生随机数，不能分解成单个资产去做，虽然也有相关的方法可以生成给定分布函数下随机数，但都比较麻烦，这是之前方法的一个局限性。
此外，多元正态假设所有的单个资产都是正态分布，多元t分布和多元渐近t分布的边际分布并非t分布或者渐近t分布，而不同的资产可能服从不同的分布，需要用不同方法去建模，已有的多元分布都不能满足这一条件，这是之前方法的另一局限性。
比较理想的状态是，我们可以用不同的方法对不同的单资产进行建模，最终n各资产具有不同的分布函数
这种情况下，如果可以找到一个连接函数G，通过这n个边际分布得到组合的分布F，就可以解决上面所说的两种局限。
这也正是本文总结的Copula模型的逻辑。
2.Copula模型
Sklar定理
Copula模型整体来说比较复杂，这里只对关键的部分加以说明，模型中最重要的定理是Sklar定理，也就是上面所说的理想情况，具体叙述如下
G称为copula CDF，在sklar定义的假设下，如果我们已经通过一些单变量模型得到了单资产的分布函数，只需要确定出copula函数G，就相当于知道了组合的分布函数，从而把估计组合分布函数的问题转化为估计copula函数的问题。当然copula函数也不是靠猜，有一些常用的copula函数可以选择，在确定了copula函数之后，可以通过MLE等方法估计参数。
参数估计（MLE）
对sklar定理两边求导得到密度函数之间的关系
从而
对数似然函数为
通过最大化对数似然函数L得到参数的估计量，这当中f都是已知的，g通过G进行计算。copula函数大致可以分为三类，以二元情况为例：
多元正态copula函数
模型中唯一需要估计的参数为rho-star，g为对G求导的结果
此时对数似然函数可以表示为
可以留意下这个式子，实证部分用到这个
多元t-copula函数
有rou-star和d两个待估参数
阿基米德copula函数
这里的C就是上文的G，见参考文献[2]，二元情况下，可以细分为
其中，序号1称为Gumbel Copula函数，序号2称为Clayton Copula函数，序号3称为Frank Copula函数，之所以说明这三个，是因为这三个实际应用中比较多，python的copulalib包中也只提供这三种方法，不过本文并未尝试这几种方法，有兴趣的可以自己尝试下。
VaR估计思路
从之前的叙述中可以看出，通过copula函数得到的组合分布函数没有非常好的解析表达式，所以直接通过定义计算VaR的方法行不通，一般采取与蒙特卡洛方法相结合的方式，生成给定copula函数下的随机数，模拟资产组合的收益序列，再根据组合权重得到组合总收益，重复若干次，取p分位数。
随机数构造
使用蒙特卡洛方法的难点在于生成给定copula函数下的随机数，需要用到Nelsen定理，详见参考文献[2]
用Nelson定理构造随机数的方法如下
看了下copulib的源码，就是用这种方法构造的。而如果是多元正态copula或者多元t-copula的话， 有更简便的方法。以二元为例，可以往更高维推广
服从二元正态，可以直接模拟，然后再用标准正态分布函数作用，就可以得到符合给定多元正态copula的随机数，多元t-copula分布类似。
在得到符合给定copula分布的随机数u后，根据单个资产的分布F，可以得到单资产对应的随机数z
随后可以根据权重计算组合收益进而估计VaR。
综上，可以将Copula函数估计VaR的过程总结如下
选择copula函数，估计参数
第一步：根据单变量模型对所有单资产进行建模，估计分布函数F；
第二步：根据所有的分布函数F和给定copula函数，最大化对数似然函数估计参数；
蒙特卡洛模拟估计VaR
第一步：生成符合copula函数的随机数;
第二步：通过随机数得到各资产收益的模拟序列；
第三步：根据各资产权重得到组合收益序列，取p分位数作为VaR估计值
3.实证分析
数据：S&P500、US 10yr T-Note Fixed Term（同上一篇）
区间：2001-2010
蒙特卡洛模拟次数：10000次
数据和代码在后台回复“VaR5”获取
仅估计最后一天的VaR。代码中未给出太多注释，可以参见文献[1]第九章习题。
前两道题首先通过threshold correlation说明正态性假设并不符合实际，threshold correlation定义如下，r(p)表示r的p分位数
结果如下
蓝色线为真实收益序列的threshold correlation，红色为标准正态的，如果将真实收益序列转化为标准收益，结果如下
可以看出，二者相差很大，说明用多元正态进行建模并不符合实际。
代码语言：javascript复制def getThre_cor(data,column1,column2,p):
cor = pd.DataFrame(p,columns = ['p'])
cor['thre_cor'] = 0
for i in range(cor.shape[0]):
if p[i] <=0.5:
condition1 = (data[column1] <= np.percentile(data[column1],p[i]*100))
condition2 = (data[column2] <= np.percentile(data[column2],p[i]*100))
else:
condition1 = (data[column1] > np.percentile(data[column1],p[i]*100))
condition2 = (data[column2] > np.percentile(data[column2],p[i]*100))
datas = data.loc[condition1 & condition2,:]
cor.loc[i,'thre_cor'] = np.corrcoef(datas[column1],datas[column2])[0,1]
return cor
def Thre_cor_norm(num,rou):
np.random.seed(52)
data = pd.DataFrame(index = range(num))
data['r1'] = np.random.normal(size=(num,1))
data['r2'] = np.random.normal(size=(num,1))
data['r1_c'] = data['r1']
data['r2_c'] = data.r1*rou data.r2*(1 - rou**2)**0.5
return data
p = np.arange(0.15,0.90,0.05)
rou = np.corrcoef(data1.Log_Return_SP,data1.Log_Return_US)[0,1]
data_norm = Thre_cor_norm(30000,rou)
cor_norm = getThre_cor(data_norm,'r1_c','r2_c',p)
p = np.arange(0.15,0.86,0.01)
cor = getThre_cor(data1,'Log_Return_SP','Log_Return_US',p)
ax = plt.figure(figsize=(10,5))
plt.plot(cor.p,cor.thre_cor,linewidth = 2)
plt.plot(cor_norm.p,cor_norm.thre_cor,linewidth = 2,color = 'red')
plt.grid()
plt.show()
第三道题为用t-garch分别对两个单资产进行建模，估计参数d，不再说明；
第四道题为用第三问的结果建立二元正态copula模型，估计组合VaR,过程前面已经说明，代码如下
估计copula函数的参数
代码语言：javascript复制def getNegativeLoglikelihood_copula(rou,r):
LogLikeLihood = -r.shape[0]*np.log(1 - rou**2)/2 - ((r.norm1**2 r.norm2**2 - 2*rou*r.norm1*r.norm2)/(2*(1 - rou**2)) -
0.5*(r.norm1**2 r.norm2**2)).sum()
return -LogLikeLihood
rou_best = optimize.fmin(getNegativeLoglikelihood_copula,rou0,
args=(copula_data,),ftol = 0.000000001)
print('估计结果为：',rou_best)
模拟
代码语言：javascript复制data4['u1c'] = data4['u1']
data4['u2c'] = data4.u1*rou data4.u2*(1 - rou**2)**0.5
data4['F1'] = norm(0,1).cdf(data4['u1c'])
data4['F2'] = norm(0,1).cdf(data4['u2c'])
data4['z1'] = t(d_SP).ppf(data4.F1)*((d_SP-2)/d_SP)**0.5
data4['z2'] = t(d_US).ppf(data4.F2)*((d_US-2)/d_US)**0.5
data4['R1'] = data4.z1*sigma_SP**0.5
data4['R2'] = data4.z2*sigma_US**0.5
data4['R'] = 0.5*data4.R1 0.5* data4.R2
VaR = -np.percentile(data4.R,1)
最终估计结果为VaR = 0.0101，可以与上篇文章最后一日的结果相对比，基本上是一致的。
为了与文献[2]结果统一，代码中大部分地方用的参数都是直接从文献中取的，小部分参数估计结果与文献有差异，也直接用了文献的数字，对代码或者文章有疑问的，欢迎交流。
参考文献
1.Christoffersen, Peter F. Elements of financial risk management. Academic Press, 2011.
2.韦艳华, 张世英. Copula 理 论 及 其 在 金 融 分 析 上 的 应 用[J].
