非线性规划问题及其数学模型
非线性规划 (non-linear programming) 问题不要求目标函数、约束条件都为线性形式，较之线性
规划问题以及由其发展出来的整数规划、目标规划，非线性规划的应用更加广泛，一般的线性规划仅仅是非线性规划的特例而已。由于约束条件的放宽，非线性规划问题可以更接近于现实生活中的种种问题，同时，求解难度也提高了很多。用矩阵和向量来表示非线性函数的数学模型如下：
(4)
模型 (4) 中，z = f(x) 为目标函数，三个约束条件中，第一个为定义域约束，第二个为线性约束
(A为系数矩阵)，第三个为非线性约束。当目标函数和约束函数光滑时，称之为光滑的非线性规划，其求解的难度要小于非光滑的非线性规划。
用 Rdonlp2 包求解光滑的非线性规划
对于无约束或者约束条件相对简单的非线性优化问题，stats 包中的 optim()、optimize()、constrOptim()、nlm()、nlminb()等函数可以完美地解决，并且它们的使用方法相当简单。鉴于该包为默认安装包，大多数人比较熟悉，下面着重探讨专门解决非线性优化的 Rdonlp2 包的用法。
R中，Rdonlp2包是一个非常强大的包，可以方便快速地解决光滑的非线性规划问题。核心函数为 donlp2()，可以求连续非线性函数的最值 (默认求最小值) ，用法如下：
donlp2(par,fn,
par.upper=rep( Inf,length(par)),
par.lower=rep(-Inf,length(par)),
A=NULL,
lin.upper=rep( Inf,length(par)),
lin.lower=rep(-Inf,length(par)),
nlin =list(),
nlin.upper=rep( Inf,length(nlin)),
nlin.lower=rep(-Inf,length(nlin)),
control=donlp2.control(),
control.fun=function(lst){return(TRUE)},
env=.GlobalEnv,
name="Rdonlp2")
1. 初始值、目标函数及自变量定义域：
par向量，迭代初始值。
fn连续型函数，函数自变量限制为 1 个 (自变量一般为向量，这样可以包含多个参数)，函数的
返回值为优化目标。
par.upper和par.lower向量，分别为自变量的上下界限，即模型(4)中的xu和 xl，它们的长度应该和向量 par 相等。如果变量无界，必须用正无穷 ( Inf) 和负无穷大 (-Inf) 来表示。可以看出，自变量默认无界，可以取全体实数。
2. 线性约束：
A线性约束矩阵，即模型 (4) 中的矩阵 A，其列的长度必须和向量 par 相等 (即总变量个数)，
其行的长度必须和线性约束的个数相等。
lin.upper和lin.lower向量，分别为线性约束条件的上下界限，即模型(4)中bu和bl，它们的长度应该和线性约束的个数相等。如果某个线性约束无界，必须用正无穷( Inf) 或负无穷大 (-Inf) 来表示。如果某一个线性约束取固定值，那么只要设置它在lin.upper 和 lin.lower 两个向量中对应位置都为该固定值即可(如 ax1 bx2= k，可化为 k≤ax1 bx2≥k，即上下界都为 k)，这方法同样适合于下面要说的非线性约束条件的控制。
3. 非线性约束：
lin列表，其中的元素为表示非线性约束条件的函数。
nlin.upper和 nlin.lower向量，分别为非线性约束条件的上下界限，即模型 (4) 中的 cu和cl，它们的长度应该和非线性约束的个数相等。如果某个非线性约束无界，必须用正无穷( Inf) 或负无穷大 (-Inf) 来表示。
4. 控制参数：
control控制参数，为donlp2.control()，可以修改一些关于算法的参数和输出参数，可以根据
实际要求修改。
control.fun控制函数。
env运行环境，一般不需要更改。
name字符变量，如果不是默认值，则会在程序运行时在工作目录生成两个以 name 为主文件名，后缀分别为 pro、mes 的文件，其中 name.pro 文件为优化问题运行结果，name.mes文件为警告及其它信息。
例求下列有约束的非线性规划问题。
解：这是一个非线性规划问题。R 代码如下:
>library(Rdonlp2) >p=c(10,10) >par.l=c(-100,-100);par.u=c(100,100) >fn=function(x){ x[1]^2*sin(x[2]) x[2]^2*cos(x[1]) } >A=matrix(c(1,1,3,-1),2,byrow=TRUE) >lin.l=c(2,1);lin.u=c( Inf,3) >nlconl=function(x){ x[1]*x[2] } >nlcon2=function(x){ sin(x[1])*cos(x[2]) } >nlin.l=c(2,-Inf) >nlin.u=c(2,0.6) >ret=donlp2(p,fn,par.u=par.u,par.l=par.l,A,lin.l=lin.l,lin.u=lin.u,nlin=list(nlconl,nlcon2),nlin.u=nlin.u,nlin.l=nlin.l)
KT-conditionssatisfied, no further correction computed
optimal value of f =2.28705347564892e 00
optimal solution x =
1.40307592849219e 001.42543960692795e 00
其中第 1 行表示求解成功，第 2 行表示此时目标函数最小值为 2.287(保留三位小数，后面也是如此)，3 - 4 行表示 x，y 分别为 1.403，1.425。
