【数据分析 R语言实战】学习笔记 第十章（下）因子分析

2019-04-10 10:55:55 浏览数 (1)

10.2因子分析

与主成分分析一样，因子分析也是一种“降维”的统计方法。它们的出发点都是变量的相关系数矩阵，在损失较少信息的前提下，把多个变量综合成少数几个指标来研究总体各方面信息，并且这少数几个综合变量所代表的信息不能重叠，即变量间不相关。

通常，研究中得到的观察数据都是关于事物的外在特征或个别的具体特征，这些特征的观测值存在聚合趋势，有些变量之间存在高度的相关性，这种高度相关性往往来源于一个共同的制约因素，称为共同因子。如果能够在一批多维数据资料中找到m个因子来解释变量的大部分变异，就是所谓的因子分析。简单地说，就是根据相关性对变量分组，同组内的变量之问相关性较高，不同组间的相关性较低，最终用少数几个因子描述指标或因素之间的联系。

因子载荷矩阵的估计方法

提取因子的方法有多种，常用的足主成分分析、主因子分析、迭代主因子分析和极大似然分析等。

R语言实现

R中自带的因子分析函数factanal()采用极大似然估计方法估计因子载荷，适用于大样本量的数据分析，其调用格式为

factanal(x, factors, data = NULL, covmat =NULL, n.obs = NA,subset, na.action, start = NULL,scores = c("none", "regression","Bartlett"),rotation = "varimax", control = NULL, ...)

x是公式或用于因子分析的数据，可以是矩阵(每行为一个样本)或数据框:factors表示要生成的因子个数:data指定数据集，当x为公式形式时使用;covmat是样本的协方差矩阵或相关系数矩阵，使用这个参数时x可以忽略:scores表示计算因子得分的方法;rotation表示因子旋转方法，默认为“varimax“：方差最大旋转。实际上，应用主成分法估计因子载荷的方法也使用得十分广泛，但R中仅有极大似然估计的函数factanal()因此我们可以仿照factanal()的输出结果，自己写出主成分法的因子分析函数factor.analysis()。

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> factor.analysis=function(x,m){
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    p=nrow(x);x.diag=diag(x);sum.rank=sum(x.diag)
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    rowname=paste("X",1:p,sep="")  #设置行名、列名
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    colname=paste("Factor",1:m,sep="")
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    A=matrix(0,nrow=p,ncol=m,dimnames=list(rowname,colname))  #构造因子载荷矩阵A，初值设为0
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    eig=eigen(x)  #eig包含两个元素,values为特征根，vectors为特征向量
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    for(i in 1:m)
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      A[,i]=sqrt(eig$values[i])*eig$vectors[,i]  #填充矩阵A的值
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    var.A=diag(A%*%t(A))  #公共因子的方差
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    rowname1=c("SS loadings","Proportion Var","Cumulative Var")
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    result=matrix(0,nrow=3,ncol=m,dimnames=list(rowname1,colname))  #构造输出结果的矩阵，初值设为0
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    for(i in 1:m){
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      result[1,i]=sum(A[,i]^2)  #计算各因子的方差
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      result[2,i]=result[1,i]/sum.rank  #计算方差贡献率
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      result[3,i]=sum(result[1,1:i])/sum.rank  #累计方差贡献率
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    }
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    method=c("Principal Component Method")
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    #输出计算结果
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    list(method=method,loadings=A,var=cbind(common=var.A,specific=x.diag-var.A),result=result)
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  }

例:

一家股份制商业银行为研究对象，选取I1个指标来研究它们的经营绩效，

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> bank=read.table("d:/data/bank.txt",header=T)
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> bank=bank[,-1]  #剔除第一列序号
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> R=cor(bank)  #计算相关系数矩阵
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> options(digits=3)  #结果显示3位有效数字
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> factor.analysis(R,5)
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$method
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[1] "Principal Component Method"
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$loadings
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    Factor1 Factor2 Factor3  Factor4 Factor5
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X1    0.394  0.2431 -0.2041  0.76100  0.3940
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X2   -0.209 -0.1280  0.8928  0.12540 -0.2654
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X3    0.804  0.1743  0.4772  0.20028 -0.0819
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X4    0.877  0.1978  0.2827 -0.23663  0.1982
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X5    0.594  0.2171 -0.0425  0.30028 -0.6327
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X6    0.309  0.8681  0.2126  0.00168  0.2912
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X7    0.911 -0.0434 -0.1026 -0.21235 -0.0258
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X8    0.200 -0.8106  0.0252  0.52455  0.0766
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X9    0.856 -0.4227  0.0227 -0.14650  0.0640
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X10  -0.764  0.5250 -0.0233  0.24916 -0.2040
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X11   0.644  0.2050 -0.5499 -0.00226 -0.3653
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$var
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    common specific
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X1   0.990  0.00991
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X2   0.943  0.05685
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X3   0.951  0.04908
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X4   0.984  0.01646
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X5   0.892  0.10807
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X6   0.979  0.02104
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X7   0.888  0.11206
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X8   0.979  0.02116
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X9   0.937  0.06299
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X10  0.964  0.03564
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X11  0.893  0.10739
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$result
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               Factor1 Factor2 Factor3 Factor4 Factor5
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SS loadings      4.663   2.101   1.508   1.185  0.9424
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Proportion Var   0.424   0.191   0.137   0.108  0.0857
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Cumulative Var   0.424   0.615   0.752   0.860  0.9454

根据loadings的输出结果，我们可以写出原始变量和5个因子之间的线性关系式

例2

某公司想要了解消费者购买牙膏时更追求什么样的}J标，于是通过商场拦访对30个人进行访谈，用7级里克特量表询问他们对以下陈述的认同程度(即1表示非常不同意，7表示非常同意)。

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> yg=read.table("d:/data/yagao.txt",header=T)
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> data=yg[,-1]
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> factanal(data,factors=2)
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Call:
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factanal(x = data, factors = 2)
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Uniquenesses:
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   V1    V2    V3    V4    V5    V6
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0.104 0.440 0.141 0.384 0.238 0.294
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Loadings:
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   Factor1 Factor2
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V1  0.945
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V2          0.747
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V3  0.917  -0.135
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V4          0.779
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V5 -0.868
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V6          0.838
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               Factor1 Factor2
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SS loadings      2.505   1.896
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Proportion Var   0.417   0.316
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Cumulative Var   0.417   0.733
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Test of the hypothesis that 2 factors are sufficient.
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The chi square statistic is 4.86 on 4 degrees of freedom.
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The p-value is 0.302
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根据载荷系数矩阵，写出2个因子和原变量之间的线性关系式
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编程算法 r语言

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