6.3两正态总体的区间估计
(1)两个总体的方差已知
在R中编写计算置信区间的函数twosample.ci()如下，输入参数为样本x, y,置信度α和两个样本的标准差。
> twosample.ci=function(x,y,alpha,sigma1,sigma2){
n1=length(x);n2=length(y)
xbar=mean(x)-mean(y)
z=qnorm(1-alpha/2)*sqrt(sigma1^2/n1 sigma2^2/n2)
c(xbar-z,xbar z)
}
前面介绍的Z检验函数z.test()可以在两总体方差已知的情况下，计算两总体均值差的置信区间，分别用参数sigma.x和sigma.y来说明已知的标准差数值即可。
例：
Bamberger's是一家为社区提供大众性商品的零传商店，为了努力维持商店的良好声誉，公司实施了将营业时间延长至夜间的计划。以Bamberger's延长营业时间前后27个典型周的销售额数据为例(以万元为单位)，计算这两个样本均值差的区间估计，从而可以看出计划实施后的效果。首先查看数据的基本类型，并绘制直方图对比。
> sales=read.table("D:/ProgramFiles/RStudio/sales.txt",header=T)
> head(sales)
prior post
1 67.90 86.10
2 76.12 71.13
3 68.64 116.25
4 74.94 102.60
5 63.32 97.51
6 50.43 65.39
> attach(sales)
> par(mfrow=c(1,2))
> hist(prior) #分别绘制计划前后销售额的直方图
> hist(post)
从直方图可以看出，销售额样本大致呈正态分布，假设已知计划实施前后的总体标准差分别为8和12，调用上面写好的函数，计算样本均值差在置信水平为1-a下的置信区间
> twosample.ci(post,prior,alpha=0.05,8,12)
[1] 19.10298 29.98295
> z.test(post,prior,sigma.x=8,sigma.y=12)$conf.int
[1] 19.10298 29.98295
attr(,"conf.level")
[1] 0.95
区间估计的结果是，Bamberger's公司延长营业时间后周营业额明显增加，增加额的范围是[19.10, 29.98]
(2)两个总体的方差未知但相等
正如计算单.正态总体均值的置信区间，R中的函数t.test()还可以用来求两总体均值差的置信区间，山于总体方差相等，需要将其中的参数var.equal设为TRUE。
> t.test(post,prior,var.equal=TRUE)$conf.int
[1] 18.66541 30.42051
attr(,"conf.level")
[1] 0.95
由计算结果同样可以得到结论:Barnberger's公司延长营业时间后周营业额明显增加，在0.95的置信水平下，营业额增加的置信区间是[18.67,30.42]
(3)两个总体的方差未知且不等
R中也没有直接的函数可用，仍需要手动写出一个函数twasarnple.ci2()
> twosample.ci2=function(x,y,alpha){
n1=length(x);n2=length(y)
xbar=mean(x)-mean(y)
S1=var(x);S2=var(y)
nu=(S1/n1 S2/n2)^2/(S1^2/n1^2/(n1-1) S2^2/n2^2/(n2-1))
z=qt(1-alpha/2,nu)*sqrt(S1/n1 S2/n2)
c(xbar-z,xbar z)
}
在实际分析中，两总体的方差未知且不等是最常见的情况，在Bamberger's公司的案例中如果延长营业时间前后的方差未知并且不相等，就要通过上面编写的函数计算样本均位差的置信区间：
> twosample.ci2(post,prior,0.05)
[1] 18.63821 30.44771
相比之前，营业时间延长后的样本均值明显增加，两样本均值差的置信区问为[18.64, 30.45]由于方差未知，在做区间估计时可利用的信息更少，因此在相同置信水平下，这时估计得到的置信区间相对更宽一些。
6.3.2两方差比的区间估计
方差比的区问估计与方差的假设检验密不可分，所以R中的函数var.test()可以用来直接计算两正态总体方拾比的置信区间，调用格式如下:
var.test(x, y, ratio = 1,
alternative = c("two.sided", "less", "greater"),
conf.level = 0.95, ...)
> var.test(prior,post)$conf.int
[1] 0.1772458 0.8534348
attr(,"conf.level")
[1] 0.95
通过函数var.test()计算后的结果可以看出，两样本方差比在95%置信水平下的区间估计为[0.1772, 0.8534]，这说明延长营业额后，周营业额的波动性变大。
6.4关于比率的区间估计
比率的估计在R中实现起来也比较简单，函数prop.test()可以直接完成对P的估计和检验，其调用格式为
prop.test(x, n, p = NULL,
alternative = c("two.sided", "less","greater"),
conf.level = 0.95, correct = TRUE)
其中，参数x为具有某种特征的样本个数;n为样本量;P设置假设检验时原假设的比率值;correct是逻辑值，设置是否应用Yates连续性修正，默认为TRUE
例：
某市为了解居民住房情况，抽查了n=2000户家庭，其中人均不足5平米的困难户有x=214个，通过样本信息计算该市困难户比率P的置信区间(置信度为0.95)
> prop.test(214,2000)
1-sample proportions test with continuity
correction
data: 214 out of 2000, null probability 0.5
X-squared = 1234, df =1, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis:true p is not equal to 0.5
95 percent confidenceinterval:
0.09396256 0.12157198
sample estimates:
p
0.107
比率检验函数的计算结果表明，在95%的置信水平下，困难户比率的区间估计为[0.0940,0.1216]，而最后一行的P值给出的是点估计，该市困难户比率为0.107
事实上，当样本数足够多时，x服从超儿何分布，上面我们用的是正态分布近似，但当抽样比很小时还可以用二项分布来近似，这时用到的函数是二项式检验binom.test()，其调用格式如下，内部参数与prop.test()一致。在上例中，如果该市的总人口数较大，那么抽样比很小，就应当用二项分布近似:
> binom.test(214,2000)
Exact binomial test
data: 214 and 2000
number of successes =214, number of trials =
2000, p-value <2.2e-16
alternative hypothesis:true probability of success is not equal to 0.5
95 percent confidenceinterval:
0.09378632 0.12137786
sample estimates:
probability of success
0.107
二项式检验的结果表明，在95%的置信水平下，困难户比率的区间估计为[0.0938, 0.1214],这与修正正态近似的结果非常接近，点估计值仍为0.107
