小议斜透视投影矩阵(oblique projection matrix)

本文简介了斜透视投影矩阵(oblique projection matrix)相关的一些知识

Unity 的这篇文档提及了斜透视投影的一些内容,还列出了示例代码:

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using UnityEngine;
using System.Collections;

public class ExampleScript : MonoBehaviour {
    void SetObliqueness(float horizObl, float vertObl) {
        Matrix4x4 mat  = Camera.main.projectionMatrix;
        mat[0, 2] = horizObl;
        mat[1, 2] = vertObl;
        Camera.main.projectionMatrix = mat;
    }
}

代码挺简单的,但是其中的原理文档中并未提及,本篇文章尝试简单讲解一下~

首先,我们要了解一下 Camera.projectionMatrix 这个矩阵的构成,简单起见,我们这里直接给出结论,有兴趣的朋友可以去看看完整的推导过程(很好的一篇文章,目前似乎还没有译文,有时间自己来翻译一下):

Unity 中的 Camera.projectionMatrix 遵循 OpenGL 的规范约定,正常的透视投影情况下,该矩阵的构成如下:

2nr−l0r lr−l002nt−bt bt−b000−f nf−n−2nff−n00−10 begin{bmatrix} dfrac{2n}{r - l} & 0 & dfrac{r l}{r - l} & 0 0 & dfrac{2n}{t - b} & dfrac{t b}{t - b} & 0 0 & 0 & -dfrac{f n}{f - n} & -dfrac{2nf}{f - n} 0 & 0 & -1 & 0 end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡r−l2n0000t−b2n00r−lr lt−bt b−f−nf n−100−f−n2nf0⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

其中

lll 是左(垂直)裁剪面的坐标
rrr 是右(垂直)裁剪面的坐标
bbb 是下(水平)裁剪面的坐标
ttt 是上(水平)裁剪面的坐标
nnn 是近(深度)裁剪面的坐标
fff 是远(深度)裁剪面的坐标

正常的透视投影情况下,我们有:

r=−l  ⟹  r l=0  ⟹  r−l=2r(1)t=−b  ⟹  t b=0  ⟹  t−b=2t(2) begin{aligned} & r = -l implies r l = 0 implies r - l = 2r & hspace{20 mm} (1) & t = -b implies t b = 0 implies t - b = 2t & hspace{20 mm} (2) end{aligned} r=−l⟹r l=0⟹r−l=2rt=−b⟹t b=0⟹t−b=2t(1)(2)

所以上面的矩阵可以简化为:

nr0000nt0000−f nf−n−2nff−n00−10 begin{bmatrix} dfrac{n}{r} & 0 & 0 & 0 0 & dfrac{n}{t} & 0 & 0 0 & 0 & -dfrac{f n}{f - n} & -dfrac{2nf}{f - n} 0 & 0 & -1 & 0 end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡rn0000tn0000−f−nf n−100−f−n2nf0⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤

现在我们需要调整这个矩阵来达到斜透视投影的效果,怎么做呢?拿水平方向的斜透视举例,我们要做的其实就是 偏移(shift) 左(垂直)裁剪面的坐标 和 右(垂直)裁剪面的坐标,即偏移上面矩阵中的 lll 和 rrr, 假设我们偏移 sss 个坐标单位,则有:

l′=l s(3)r′=r s(4) begin{aligned} & l' = l s & hspace{20 mm} (3) & r' = r s & hspace{20 mm} (4) end{aligned} l′=l sr′=r s(3)(4)

考虑最开始的透视投影矩阵,由于我们变更了其中的 lll 和 rrr(变更为了 l′l'l′ 和 r′r'r′),所以新的(斜)透视投影矩阵变为:

2nr′−l′0r′ l′r′−l′002nt−bt bt−b000−f nf−n−2nff−n00−10 begin{bmatrix} dfrac{2n}{r' - l'} & 0 & dfrac{r' l'}{r' - l'} & 0 0 & dfrac{2n}{t - b} & dfrac{t b}{t - b} & 0 0 & 0 & -dfrac{f n}{f - n} & -dfrac{2nf}{f - n} 0 & 0 & -1 & 0 end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡r′−l′2n0000t−b2n00r′−l′r′ l′t−bt b−f−nf n−100−f−n2nf0⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

将之前的 (1),(2),(3),(4)(1),(2),(3),(4)(1),(2),(3),(4) 这四个等式代入计算,我们得到:

nr0sr00nt0000−f nf−n−2nff−n00−10 begin{bmatrix} dfrac{n}{r} & 0 & dfrac{s}{r} & 0 0 & dfrac{n}{t} & 0 & 0 0 & 0 & -dfrac{f n}{f - n} & -dfrac{2nf}{f - n} 0 & 0 & -1 & 0 end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡rn0000tn00rs0−f−nf n−100−f−n2nf0⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤

注意到相比之前简化的透视投影矩阵,只有一个矩阵元素发生了变化(第一行第三列,即M0, 2),从之前的 000 变为了 s/rs/rs/r,而 s/rs/rs/r 这个数值表示的则是(水平)倾斜度:

s/r=0s/r = 0s/r=0 即 s=0s = 0s=0,表示不进行偏移,即(水平)倾斜度为 000
s/r=1s/r = 1s/r=1 即 s=rs = rs=r,表示向右偏移整个右(垂直)裁剪面的坐标,即(水平)倾斜度为 111
s/r=−1s/r = -1s/r=−1 即 s=−r=ls = -r = ls=−r=l,表示向左偏移整个右(垂直)裁剪面的坐标,即(水平)倾斜度为 −1-1−1
其他的一些数值情况即代表不同的(水平)倾斜度

垂直方向的斜透视也同样可以依此分析,假设垂直方向的偏移量为 s′s's′ 坐标单位,我们能够得到:

nr0000nts′t000−f nf−n−2nff−n00−10 begin{bmatrix} dfrac{n}{r} & 0 & 0 & 0 0 & dfrac{n}{t} & dfrac{s'}{t} & 0 0 & 0 & -dfrac{f n}{f - n} & -dfrac{2nf}{f - n} 0 & 0 & -1 & 0 end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡rn0000tn000ts′−f−nf n−100−f−n2nf0⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

可以看到,相比之前简化的透视投影矩阵,新的(斜)透视投影矩阵也仅有一个矩阵元素发生了变化(第二行第三列,即M1, 2),并且该元素的数值同样表示(垂直)倾斜度(s′/ts'/ts′/t).

综上,如果我们给定了 (水平)倾斜度 和 (垂直)倾斜度,只要据此改变原透视投影矩阵的两个元素(设置 第一行第三列,即M0, 2 为(水平)倾斜度,设置 第二行第三列,即M1, 2 为(垂直)倾斜度)即可得到我们想要的斜透视投影矩阵~

讲到这里,如果再看一眼先前的示例代码的话,想必是一目了然了~

代码语言：javascript复制

using UnityEngine;
using System.Collections;

public class ExampleScript : MonoBehaviour {
    void SetObliqueness(float horizObl, float vertObl) {
        Matrix4x4 mat  = Camera.main.projectionMatrix;
        mat[0, 2] = horizObl;
        mat[1, 2] = vertObl;
        Camera.main.projectionMatrix = mat;
    }
}

小议斜透视投影矩阵(oblique projection matrix)

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