高等数学
1.导数定义：
导数和微分的概念
（1）
或者：
（2）
2.左右导数导数的几何意义和物理意义
函数
在
处的左、右导数分别定义为：
左导数：
右导数：
3.函数的可导性与连续性之间的关系
Th1: 函数
在
处可微
在
处可导
Th2: 若函数在点
处可导，则
在点
处连续，反之则不成立。即函数连续不一定可导。
Th3:
存在
4.平面曲线的切线和法线
切线方程 :
法线方程：
5.四则运算法则 设函数
]在点
可导则 (1)
(2)
(3)
6.基本导数与微分表 (1)
（常数）
(2)
(
为实数)
(3)
特例:
(4)
特例:
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
7.复合函数，反函数，隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法
(1) 反函数的运算法则: 设
在点
的某邻域内单调连续，在点
处可导且
，则其反函数在点
所对应的
处可导，并且有
(2) 复合函数的运算法则:若
在点
可导,而
在对应点
(
)可导,则复合函数
在点
可导,且
(3) 隐函数导数
的求法一般有三种方法： 1)方程两边对
求导，要记住
是
的函数，则
的函数是
的复合函数.例如
，
，
，
等均是
的复合函数. 对
求导应按复合函数连锁法则做. 2)公式法.由
知
,其中，
，
分别表示
对
和
的偏导数 3)利用微分形式不变性
8.常用高阶导数公式
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）莱布尼兹公式：若
均
阶可导，则
，其中
，
9.微分中值定理，泰勒公式
Th1:(费马定理)
若函数
满足条件： (1)函数
在
的某邻域内有定义，并且在此邻域内恒有
或
,
(2)
在
处可导,则有
Th2:(罗尔定理)
设函数
满足条件： (1)在闭区间
上连续；
(2)在
内可导；
(3)
；
则在
内一存在个
，使
Th3: (拉格朗日中值定理)
设函数
满足条件： (1)在
上连续；
(2)在
内可导；
则在
内一存在个
，使
Th4: (柯西中值定理)
设函数
，
满足条件： (1) 在
上连续；
(2) 在
内可导且
，
均存在，且
则在
内存在一个
，使
10.洛必达法则 法则Ⅰ (
型) 设函数
满足条件：
;
在
的邻域内可导，(在
处可除外)且
;
存在(或
)。
则:
。 法则
(
型)设函数
满足条件：
;
存在一个
,当
时,
可导,且
;
存在(或
)。
则:
法则Ⅱ(
型) 设函数
满足条件：
;
在
的邻域内可导(在
处可除外)且
;
存在(或
)。则
同理法则
(
型)仿法则
可写出。
11.泰勒公式
设函数
在点
处的某邻域内具有
阶导数，则对该邻域内异于
的任意点
，在
与
之间至少存在 一个
，使得：
其中
称为
在点
处的
阶泰勒余项。
令
，则
阶泰勒公式
……(1) 其中
，
在0与
之间.(1)式称为麦克劳林公式
常用五种函数在
处的泰勒公式
(1)
或
(2)
或
(3)
或
(4)
或
(5)
或
12.函数单调性的判断 Th1: 设函数
在
区间内可导，如果对
，都有
（或
），则函数
在
内是单调增加的（或单调减少）
Th2: （取极值的必要条件）设函数
在
处可导，且在
处取极值，则
。
Th3: （取极值的第一充分条件）设函数
在
的某一邻域内可微，且
（或
在
处连续，但
不存在。） (1)若当
经过
时，
由“ ”变“-”，则
为极大值； (2)若当
经过
时，
由“-”变“ ”，则
为极小值； (3)若
经过
的两侧不变号，则
不是极值。
Th4: (取极值的第二充分条件)设
在点
处有
，且
，则 当
时，
为极大值； 当
时，
为极小值。 注：如果
，此方法失效。
13.渐近线的求法 (1)水平渐近线 若
，或
，则
称为函数
的水平渐近线。
(2)铅直渐近线 若
，或
，则
称为
的铅直渐近线。
(3)斜渐近线 若
，则
称为
的斜渐近线。
14.函数凹凸性的判断 Th1: (凹凸性的判别定理）若在I上
（或
），则
在I上是凸的（或凹的）。
Th2: (拐点的判别定理1)若在
处
，（或
不存在），当
变动经过
时，
变号，则
为拐点。
Th3: (拐点的判别定理2)设
在
点的某邻域内有三阶导数，且
，
，则
为拐点。
15.弧微分
16.曲率
曲线
在点
处的曲率
。 对于参数方程
。
17.曲率半径
曲线在点
处的曲率
与曲线在点
处的曲率半径
有如下关系：
。
线性代数
行列式
1.行列式按行（列）展开定理
(1) 设
，则：
或
即
其中：
(2) 设
为
阶方阵，则
，但
不一定成立。
(3)
,
为
阶方阵。
(4) 设
为
阶方阵，
（若
可逆），
(5)
，
为方阵，但
。
(6) 范德蒙行列式
设
是
阶方阵，
是
的
个特征值，则
矩阵
矩阵：
个数
排成
行
列的表格
称为矩阵，简记为
，或者
。若
，则称
是
阶矩阵或
阶方阵。
矩阵的线性运算
1.矩阵的加法
设
是两个
矩阵，则
矩阵
称为矩阵
与
的和，记为
。
2.矩阵的数乘
设
是
矩阵，
是一个常数，则
矩阵
称为数
与矩阵
的数乘，记为
。
3.矩阵的乘法
设
是
矩阵，
是
矩阵，那么
矩阵
，其中
称为
的乘积，记为
。
4.
、
、
三者之间的关系
(1)
(2)
但
不一定成立。
(3)
，
但
不一定成立。
(4)
5.有关
的结论
(1)
(2)
(3) 若
可逆，则
(4) 若
为
阶方阵，则：
6.有关
的结论
可逆
可以表示为初等矩阵的乘积；
。
7.有关矩阵秩的结论
(1) 秩
=行秩=列秩；
(2)
(3)
；
(4)
(5) 初等变换不改变矩阵的秩
(6)
特别若
则：
(7) 若
存在
若
存在
若
若
。
(8)
只有零解
8.分块求逆公式
；
；
；
这里
，
均为可逆方阵。
向量
1.有关向量组的线性表示
(1)
线性相关
至少有一个向量可以用其余向量线性表示。
(2)
线性无关，
，
线性相关
可以由
唯一线性表示。
(3)
可以由
线性表示
。
2.有关向量组的线性相关性
(1)部分相关，整体相关；整体无关，部分无关.
(2) ①
个
维向量
线性无关
，
个
维向量
线性相关
。
②
个
维向量线性相关。
③ 若
线性无关，则添加分量后仍线性无关；或一组向量线性相关，去掉某些分量后仍线性相关。
3.有关向量组的线性表示
(1)
线性相关
至少有一个向量可以用其余向量线性表示。
(2)
线性无关，
，
线性相关
可以由
唯一线性表示。
(3)
可以由
线性表示
4.向量组的秩与矩阵的秩之间的关系
设
，则
的秩
与
的行列向量组的线性相关性关系为：
(1) 若
，则
的行向量组线性无关。
(2) 若
，则
的行向量组线性相关。
(3) 若
，则
的列向量组线性无关。
(4) 若
，则
的列向量组线性相关。
5.
维向量空间的基变换公式及过渡矩阵
若
与
是向量空间
的两组基，则基变换公式为：
其中
是可逆矩阵，称为由基
到基
的过渡矩阵。
6.坐标变换公式
若向量
在基
与基
的坐标分别是
，
即：
，则向量坐标变换公式为
或
，其中
是从基
到基
的过渡矩阵。
7.向量的内积
8.Schmidt正交化
若
线性无关，则可构造
使其两两正交，且
仅是
的线性组合
，再把
单位化，记
，则
是规范正交向量组。其中
，
，
，
............
9.正交基及规范正交基
向量空间一组基中的向量如果两两正交，就称为正交基；若正交基中每个向量都是单位向量，就称其为规范正交基。
线性方程组
1．克莱姆法则
线性方程组
，如果系数行列式
，则方程组有唯一解，
，其中
是把
中第
列元素换成方程组右端的常数列所得的行列式。
2.
阶矩阵
可逆
只有零解。
总有唯一解，一般地，
只有零解。
3.非奇次线性方程组有解的充分必要条件，线性方程组解的性质和解的结构
(1) 设
为
矩阵，若
，则对
而言必有
，从而
有解。
(2) 设
为
的解，则
当
时仍为
的解；但当
时，则为
的解。特别
为
的解；
为
的解。
(3) 非齐次线性方程组
无解
不能由
的列向量
线性表示。
4.奇次线性方程组的基础解系和通解，解空间，非奇次线性方程组的通解
(1) 齐次方程组
恒有解(必有零解)。当有非零解时，由于解向量的任意线性组合仍是该齐次方程组的解向量，因此
的全体解向量构成一个向量空间，称为该方程组的解空间，解空间的维数是
，解空间的一组基称为齐次方程组的基础解系。
(2)
是
的基础解系，即：
是
的解；
线性无关；
的任一解都可以由
线性表出.
是
的通解，其中
是任意常数。
矩阵的特征值和特征向量
1.矩阵的特征值和特征向量的概念及性质
(1) 设
是
的一个特征值，则
有一个特征值分别为
且对应特征向量相同（
例外）。
(2)若
为
的
个特征值，则
,从而
没有特征值。
(3)设
为
的
个特征值，对应特征向量为
，
若:
,
则:
。
2.相似变换、相似矩阵的概念及性质
(1) 若
，则
，对
成立
3.矩阵可相似对角化的充分必要条件
(1)设
为
阶方阵，则
可对角化
对每个
重根特征值
，有
(2) 设
可对角化，则由
有
，从而
(3) 重要结论
- 若
，则
.
- 若
，则
，其中
为关于
阶方阵
的多项式。
- 若
为可对角化矩阵，则其非零特征值的个数(重根重复计算)＝秩(
)
4.实对称矩阵的特征值、特征向量及相似对角阵
(1)相似矩阵：设
为两个
阶方阵，如果存在一个可逆矩阵
，使得
成立，则称矩阵
与
相似，记为
。
(2)相似矩阵的性质：如果
则有：
（若
，
均可逆）
（
为正整数）
，从而
有相同的特征值
，从而
同时可逆或者不可逆
- 秩
秩
，
不一定相似
二次型
1.
个变量
的二次齐次函数
，其中
，称为
元二次型，简称二次型. 若令
,这二次型
可改写成矩阵向量形式
。其中
称为二次型矩阵，因为
，所以二次型矩阵均为对称矩阵，且二次型与对称矩阵一一对应，并把矩阵
的秩称为二次型的秩。
2.惯性定理，二次型的标准形和规范形
(1) 惯性定理
对于任一二次型，不论选取怎样的合同变换使它化为仅含平方项的标准型，其正负惯性指数与所选变换无关，这就是所谓的惯性定理。
(2) 标准形
二次型
经过合同变换
化为
称为
的标准形。在一般的数域内，二次型的标准形不是唯一的，与所作的合同变换有关，但系数不为零的平方项的个数由
唯一确定。
(3) 规范形
任一实二次型
都可经过合同变换化为规范形
，其中
为
的秩，
为正惯性指数，
为负惯性指数，且规范型唯一。
3.用正交变换和配方法化二次型为标准形，二次型及其矩阵的正定性
设
正定
正定；
,
可逆；
，且
，
正定
正定，但
，
不一定正定
正定
的各阶顺序主子式全大于零
的所有特征值大于零
的正惯性指数为
存在可逆阵
使
存在正交矩阵
，使
其中
正定
正定；
可逆；
，且
。
概率论和数理统计
随机事件和概率
1.事件的关系与运算
(1) 子事件：
，若
发生，则
发生。
(2) 相等事件：
，即
，且
。
(3) 和事件：
（或
），
与
中至少有一个发生。
(4) 差事件：
，
发生但
不发生。
(5) 积事件：
（或
），
与
同时发生。
(6) 互斥事件（互不相容）：
=
。
(7) 互逆事件（对立事件）：
2.运算律 (1) 交换律：
(2) 结合律：
(3) 分配律：
3.德
摩根律
4.完全事件组
两两互斥，且和事件为必然事件，即
5.概率的基本公式 (1)条件概率:
,表示
发生的条件下，
发生的概率。 (2)全概率公式：
(3) Bayes公式：
注：上述公式中事件
的个数可为可列个。 (4)乘法公式：
6.事件的独立性 (1)
与
相互独立
(2)
，
，
两两独立
;
;
; (3)
，
，
相互独立
;
;
;
7.独立重复试验
将某试验独立重复
次，若每次实验中事件A发生的概率为
，则
次试验中
发生
次的概率为：
8.重要公式与结论
(5)条件概率
满足概率的所有性质， 例如：.
(6)若
相互独立，则
(7)互斥、互逆与独立性之间的关系：
与
互逆
与
互斥，但反之不成立，
与
互斥（或互逆）且均非零概率事件
与
不独立. (8)若
相互独立，则
与
也相互独立，其中
分别表示对相应事件做任意事件运算后所得的事件，另外，概率为1（或0）的事件与任何事件相互独立.
随机变量及其概率分布
1.随机变量及概率分布
取值带有随机性的变量，严格地说是定义在样本空间上，取值于实数的函数称为随机变量，概率分布通常指分布函数或分布律
2.分布函数的概念与性质
定义：
性质：(1)
(2)
单调不减
(3) 右连续
(4)
3.离散型随机变量的概率分布
4.连续型随机变量的概率密度
概率密度
;非负可积，且:
(1)
(2)
(3)
为
的连续点，则:
分布函数
5.常见分布
(1) 0-1分布:
(2) 二项分布:
：
(3) Poisson分布:
：
(4) 均匀分布
：
(5) 正态分布:
(6)指数分布:
(7)几何分布:
(8)超几何分布:
6.随机变量函数的概率分布
(1)离散型：
则:
(2)连续型：
则:
，
7.重要公式与结论
(1)
(2)
(3)
(4)
(5) 离散型随机变量的分布函数为阶梯间断函数；连续型随机变量的分布函数为连续函数，但不一定为处处可导函数。
(6) 存在既非离散也非连续型随机变量。
多维随机变量及其分布
1.二维随机变量及其联合分布
由两个随机变量构成的随机向量
， 联合分布为
2.二维离散型随机变量的分布
(1) 联合概率分布律
(2) 边缘分布律
(3) 条件分布律
3. 二维连续性随机变量的密度
(1) 联合概率密度
(2) 分布函数：
(3) 边缘概率密度：
(4) 条件概率密度：
4.常见二维随机变量的联合分布
(1) 二维均匀分布：
,
(2) 二维正态分布：
,
5.随机变量的独立性和相关性
和
的相互独立:
:
（离散型）
（连续型）
和
的相关性：
相关系数
时，称
和
不相关， 否则称
和
相关
6.两个随机变量简单函数的概率分布
离散型：
则：
连续型：
则：
，
7.重要公式与结论
(1) 边缘密度公式：
(2)
(3) 若
服从二维正态分布
则有：
与
相互独立
，即
与
不相关。
关于
的条件分布为：
关于
的条件分布为：
(4) 若
与
独立，且分别服从
则：
(5) 若
与
相互独立，
和
为连续函数， 则
和
也相互独立。
随机变量的数字特征
1.数学期望
离散型：
；
连续型：
性质：
(1)
(2)
(3) 若
和
独立，则
(4)
2.方差：
3.标准差：
，
4.离散型：
5.连续型：
性质：
(1)
(2)
与
相互独立，则
(3)
(4) 一般有
(5)
(6)
6.随机变量函数的数学期望
(1) 对于函数
为离散型：
；
为连续型：
(2)
;
;
;
7.协方差
8.相关系数
,
阶原点矩
;
阶中心矩
性质：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
，其中
，其中
9.重要公式与结论
(1)
(2)
(3)
且
，其中
，其中
(4) 下面5个条件互为充要条件：
注：
与
独立为上述5个条件中任何一个成立的充分条件，但非必要条件。
数理统计的基本概念
1.基本概念
总体：研究对象的全体，它是一个随机变量，用
表示。
个体：组成总体的每个基本元素。
简单随机样本：来自总体
的
个相互独立且与总体同分布的随机变量
，称为容量为
的简单随机样本，简称样本。
统计量：设
是来自总体
的一个样本，
）是样本的连续函数，且
中不含任何未知参数，则称
为统计量。
样本均值：
样本方差：
样本矩：样本
阶原点矩：
样本
阶中心矩：
2.分布
分布：
，其中
相互独立，且同服从
分布：
，其中
且
，
相互独立。
分布：
，其中
且
，
相互独立。
分位数：若
则称
为
的
分位数
3.正态总体的常用样本分布
(1) 设
为来自正态总体
的样本，
则：
或者
4)
4.重要公式与结论
(1) 对于
，有
(2) 对于
，有
；
(3) 对于
，有
(4) 对于任意总体
，有
原文：http://www.ai-start.com/dl2017/html/math.html
