作者 | xiaoyu
知乎 | https://zhuanlan.zhihu.com/pypcfx
介绍 | 一个半路转行的数据挖掘工程师
前一篇文章给大家介绍了线性回归的模型假设，损失函数，参数估计，和简单的预测。具体内容请看下面链接：【机器学习笔记】：大话线性回归（一）
但其实还有很多问题需要我们解决：这个模型的效果如何？如何评判这个效果？开始线性模型的假设成立吗？如何验证这些假设？还会有其它问题会影响模型效果吗？带着这些问题我们开始本篇的内容。
- 线性回归拟合优度
- 线性回归假设检验
- 线性回归诊断
▌线性回归拟合优度
1. 判定系数
回归直线与各观测点的接近程度成为回归直线对数据的拟合优度。而评判直线拟合优度需要一些指标，其中一个就是判定系数。
我们知道，因变量y值有来自两个方面的影响：
（1）来自x值的影响，也就是我们预测的主要依据
（2）来自无法预测的干扰项ϵ的影响
如果一个回归直线预测非常准确，那么它就需要让来自x的影响尽可能的大，而让来自无法预测干扰项的影响尽可能的小，也就是说x影响占比越高，预测效果就越好。下面我们看一下如何定义这些影响，并形成指标。
- SST（总平方和）：变差总平方和
- SSR（回归平方和）：由x与y之间的线性关系引起的y变化
- SSE（残差平方和）：除x影响之外的其它因素引起的y变化
它们之间的关系是：
。根据我们前面的分析，SSR越高，则代表回归预测越准确，观测点越是靠近直线，也即
越大，直线拟合越好。因此，判定系数的定义就自然的引出来了，我们一般称为R2。
还是用上篇的数据为例，利用R2来测试一下拟合的效果是怎么样的。
代码语言：javascript复制def R2square(yArr,y_hat):
n = len(yArr)
yArr = np.array(yArr).reshape(n,1)
y_hat = np.array(y_hat).reshape(n,1)
# ssr
diff_yhat = y_predict - np.mean(yArr)
ssr = np.sum(np.power(diff_yhat,2))
# sst
diff_y = yArr - np.mean(yArr)
sst = np.sum(np.power(diff_y,2))
return round(ssr/sst,2)R2square(yArr,y_predict)
>>0.97可以看到最后的得分是0.97，说明拟合程度还是很不错的。
2. 估计标准误差 判定系数R2的意义是由x引起的影响占总影响的比例来判断拟合程度的。当然，我们也可以从误差的角度去评估，也就是用残差SSE进行判断。估计标准误差是均方残差的平方根，可以度量各实际观测点在直线周围散布的情况。
估计标准误差与判定系数相反，se反映了预测值与真实值之间误差的大小，se越小说明拟合度越高，相反，se越大说明拟合度越低。仍然用之前的数据集进行测试：
代码语言：javascript复制def MSEsqrt(yArr,y_hat):
n = len(yArr)
yArr = np.array(yArr).reshape(n,1)
y_hat = np.array(y_hat).reshape(n,1)
diff = yArr - y_predict
# sse
sse = np.sum(np.power(diff,2))
return round(np.sqrt(sse/(n-2)),2)
MSEsqrt(yArr,y_predict)
>>0.08可以看到，平均的标准误差只有0.08，非常低，说明了拟合效果很不错，同时也证实了R2结果的正确性。
▌线性回归的显著性检验
要想知道我们根据样本拟合的模型是否可以有效地预测或估计，我们需要对拟合的模型进行显著性检验。回归分析中的显著性检验主要包括两方面内容：线性关系检验；回归系数检验。
1. 线性关系检验
线性关系检验是指多个自变量x和因变量y之间的线性关系是否显著，它们之间是否可以用一个线性模型表示。检验统计量使用F分布，其定义如下：
SSR的自由度为：自变量的个数k
SSE的自由度为：n-k-1
利用F统计量，线性关系检验的一般步骤为：
（1）提出原假设和备择假设
（2）计算检验的统计量F
（2）作出统计决策
与假设检验相同，如果给定显著性水平α，则根据两个自由度k和n-k-1进行F分布的查表。若
，则拒绝原假设，说明发生了小概率事件，若
，则不拒绝原假设。当然，我们也可以直接通过观察P值来决定是否拒绝原假设。
通过上面步骤的假设，我们也看到了：在多元线性回归中，只要有一个自变量系数不为零（即至少一个自变量系数与因变量有线性关系），我们就说这个线性关系是显著的。如果不显著，说明所有自变量系数均为零。
2. 回归系数检验
回归系数的显著性检验与线性检验不同，它要求对每一个自变量系数进行检验，然后通过检验结果可判断出自变量是否显著。因此，我们可以通过这种检验来判断一个特征（自变量）的重要性，并对特征进行筛选。检验统计量使用t分布，步骤如下：
（1）提出原假设和备择假设
对于任意参数
，有：
（2）计算检验统计量t
（3）作出统计决策
如前面一样，我们需要根据自由度n-k-1查t分布表，并通过α或者p值判断显著性。
3. Python代码实现
下面通过一段代码来说明上面两种显著性检验，为了方便我们直接通过statsmodels模型引入ols模型进行回归拟合，然后查看总结表，其中包括F和t统计量结果。
代码语言：javascript复制import statsmodels.formula.api as smf
import statsmodels.api as sm
# 创建线性回归最小二乘法模型
model = sm.OLS(yArr,xArr)
results = model.fit()
results.summary()
通过上面结果我们清楚看到：
- F统计量的p值非常小，拒绝原假设，说明线性关系显著
- 两个回归系数的t统计量p值均为0，拒绝原假设，说明回归系数也都显著
▌线性回归的诊断
线性回归的诊断包括很多内容，比较重要的几个有：
（1）残差分析
（2）线性相关性检验
（3）多重共线性分析
（4）强影响点分析
下面我们开始分别介绍这几个需要诊断的内容。
残差分析
还记得我们的模型是怎么来的吗？没错，线性回归模型是基于一些假设条件的：除了自变量和因变量有线性相关关系外，其它假设基本都是关于残差的，主要就是残差ϵ独立同分布，服从
。
总结一下关于残差有三点假设：（1）正态性检验；（2）独立性检验；（3）方差齐性检验。下面我们将对这些假设逐一诊断，只有假设被验证，模型才是成立的。
1. 正态性检验
干扰项（即残差），服从正态分布的本质是要求因变量服从变量分布。因此，验证残差是否服从正态分布就等于验证因变量的正态分布特性。关于正态分布的检验通常有以下几种方法。
（1）直方图法：
直方图法就是根据数据分布的直方图与标准正态分布对比进行检验，主要是通过目测。比如本例中我们的直方图可以这样显示出来：
代码语言：javascript复制residual = results.resid
sns.distplot(residual,
bins = 10,
kde = False,
color = 'blue',
fit = stats.norm)
plt.show()
通过目测，我们发现残差的数据分布并不是很好的服从正态分布，因此这里是不满足假设条件的。
（2）PP图和QQ图：
PP图是对比正态分布的累积概率值和实际分布的累积概率值。statsmodels中直接提供了该检测方法：
代码语言：javascript复制# pp图法
pq = sm.ProbPlot(residual)
pq.ppplot(line='45')
QQ图是通过把测试样本数据的分位数与已知分布相比较，从而来检验数据的分布情况。对应于正态分布的QQ图，就是由标准正态分布的分位数为横坐标，样本值为纵坐标的散点图。同样的，我们通过一段代码来观察一下：
代码语言：javascript复制# qq图法
pq = sm.ProbPlot(residual)
pq.qqplot(line='q')
pp图和qq图判断标准是：如果观察点都比较均匀的分布在直线附近，就可以说明变量近似的服从正态分布，否则不服从正态分布。
从pp图和qq图可以看出，样本点并不是十分均匀地落在直线上，有的地方有一些较大的偏差，因此判断不是正态分布。
（3）Shapiro检验：
这种检验方法均属于非参数方法，先假设变量是服从正态分布的，然后对假设进行检验。一般地数据量低于5000则可以使用Shapiro检验，大于5000的数据量可以使用K-S检验，这种方法在scipy库中可以直接调用：
代码语言：javascript复制# shapiro检验
import scipy.stats as stats
stats.shapiro(residual)
out:
(0.9539670944213867, 4.640808128e-06)上面结果两个参数：第一个是Shaprio检验统计量值，第二个是相对应的p值。可以看到，p值非常小，远远小于0.05，因此拒绝原假设，说明残差不服从正态分布。
同样的方法还有KS检验，也可以直接通过scipy调用进行计算。
2. 独立性检验
残差的独立性可以通过Durbin-Watson统计量（DW）来检验。
原假设：p=0（即前后扰动项不存在相关性）
背责假设：
（即近邻的前后扰动项存在相关性）
DW统计量公式如下：
判断标准是：
p=0，DW=2：扰动项完全不相关
p=1，DW=0：扰动项完全正相关
p=-1，DW=4：扰动项完全负相关
在我们前面使用的statsmodels结果表中就包含了DW统计量：
DW值为2.192，说明残差之间是不相关的，也即满足独立性假设。
3. 方差齐性检验
如果残差随着自变量增发生随机变化，上下界基本对称，无明显自相关，方差为齐性，我们就说这是正常的残差。判断方差齐性检验的方法一般有两个：图形法，BP检验。
（1）图形法
图形法就是画出自变量与残差的散点图，自变量为横坐标，残差为纵坐标。下面是残差图形的代码：
代码语言：javascript复制# 图形法
var1 = np.array(xArr)[:,1]
plt.scatter(np.array(xArr)[:,1], residual)
plt.hlines(y = 0,
xmin = np.min(var1),
xmax = np.max(var1),
color = 'red',
linestyles = '--')
plt.xlabel('var0')
plt.ylabel('residual')
plt.show()
图形法可以看出：残差的方差（即观察点相对红色虚线的上下浮动大小）不随着自变量变化有很大的浮动，说明了残差的方差是齐性的。
如果残差方差不是齐性的，有很多修正的方法，比如加权最小二乘法，稳健回归等，而最简单的方法就是对变量取自然对数。而取对数从业务上来说也是有意义的，解释变量和被解释变量的表达形式不同，对回归系数的解释也不同。下面是不同转换情况下的解释：
对数转换后的效果可以通过R2或者修改R2的结果比对得出，如果方差通过取对数变换变成齐性，那么它的R2应该比变换之前数值高，即会取得更好的效果。
（2）BP检验法
这种方法也是一种假设检验的方法，其原假设为：残差的方差为一个常数，然后通过计算LM统计量，判断假设是否成立。在statsmodels中也同样有相应的方法可以实现BP检查方法。
代码语言：javascript复制# BP检验
sm.stats.diagnostic.het_breuschpagan(residual,results.model.exog)
out:
(0.16586685109032384,
0.6838114989412791,
0.1643444790856123,
0.6856254489662914)上述参数：
第一个为：LM统计量值
第二个为：响应的p值，0.68远大于显著性水平0.05，因此接受原假设，即残差方差是一个常数
第三个为：F统计量值，用来检验残差平方项与自变量之间是否独立，如果独立则表明残差方差齐性
第四个为：F统计量对应的p值，也是远大于0.05的，因此进一步验证了残差方差的齐性。
以上就是残差分析的主要内容，对于线性回归诊断还有其余的线性相关性检验，多重共线性分析，强影响点分析三部分重要内容，将在下一篇进行介绍，完整代码在知识星球中。
参考： 统计学，贾俊平 计量经济学导论，伍德里奇 从零开始学Python数据分析与挖掘，刘顺祥 Python数据科学技术详解与商业实践，常国珍
