常用向量和矩阵的范数

#向量的范数

任意x in C^n，设x=(xi _{1}, xi _{12}, ... , xi _{n})^{T}，常用的范数有

1. 2-范数|x|_{2}=(sum _{i=1}^{n}|xi _i|^2)^{frac{1}{2}}
2. 1-范数|x|_{1}=sum _{i=1}^{n}|xi _i|
3. infty-范数|x|_{infty}=max _{1 leqslant i leqslant n}|xi _i| 以上三种范数都是以下p-范数的特例：|x|_{p}=(sum _{i=1}^{n}|xi _i|^p)^{frac{1}{p}}, quad 1 leqslant p leqslant infty 1-范数和2-范数显然是p-范数在p=1和p=2的特殊情形. #矩阵的范数 与向量x in C^n的几种范数相对应，矩阵A=[a_{ij}] in C^{m times n}有范数 | A | _1=sum _{i=1} ^{m}{sum _{j=1} ^n {|a_{ij}|}}, | A | _2=| A | _F=(sum _{i=1} ^{m}{sum _{j=1} ^n {|a_{ij}|^2}})^{frac{1}{2}}=sqrt{tr(A^{H}A)}, | A | _infty=max_{i,j}|a_{ij}| | A | _p=(sum _{i=1} ^{m}{sum _{j=1} ^n {|a_{ij}|^p}})^{frac{1}{p}}, quad 1leqslant q leqslant infty 2-范数也叫Frobenius范数。