一、逻辑回归是什么
简单来说， 逻辑回归（Logistic Regression）是一种用于解决二分类（0 or 1）问题的机器学习方法，用于估计某种事物的可能性。比如某用户购买某商品的可能性，某病人患有某种疾病的可能性，以及某广告被用户点击的可能性等。
逻辑回归是为了解决分类问题，根据一些已知的训练集训练好模型，再对新的数据进行预测属于哪个类。
逻辑回归（Logistic Regression）与线性回归（Linear Regression）都是一种广义线性模型（generalized linear model）。逻辑回归假设因变量 y 服从伯努利分布，而线性回归假设因变量 y 服从高斯分布。
二、逻辑回归的代价函数
1. 公式：
综合起来为：
其中
2. 公式推导过程：
代价函数的推导分两步进行：
- 寻找一个合适的预测函数，一般表示为h函数。
- 构造一个cost函数，该函数表示预测的输出（h）与训练数据的类别（y）之间的偏差。
2.1. 寻找预测函数
Logistic Regression虽然名字里带“回归”，但是它实际上是一种分类方法，用于两分类问题（即输出只有两种），显然，预测函数的输出必须是两个值（分别代表两个类别），所以利用了Logistic函数（或称为Sigmoid函数）。
sigmoid函数是一个s形的曲线，它的取值在[0, 1]之间，在远离0的地方函数的值会很快接近0或者1。它的这个特性对于解决二分类问题十分重要。
Sigmoid函数：
接下来需要确定数据划分的边界类型，对于图1和图2中的两种数据分布，显然图2需要一个线性的边界，而图3需要一个非线性的边界。接下来我们只讨论线性边界的情况。
图1
图2
对于线性边界的情况，边界形式如下：
构造预测函数为：
hθ(x)函数的值有特殊的含义，它表示结果取1的概率，因此对于输入x分类结果为类别1和类别0的概率分别为：
2.2. 构造代价函数
上面的n改成m，笔误。
三、梯度下降法求J(θ)的最小值
θ更新过程可以写成：
四、代码展示
代码语言：javascript复制def LogisticRegression():
data = loadtxtAndcsv_data("data2.txt", ",", np.float64)
X = data[:,0:-1]
y = data[:,-1]
plot_data(X,y) # 作图
X = mapFeature(X[:,0],X[:,1]) #映射为多项式
initial_theta = np.zeros((X.shape[1],1))#初始化theta
initial_lambda = 0.1 #初始化正则化系数，一般取0.01,0.1,1.....
J = costFunction(initial_theta,X,y,initial_lambda) #计算一下给定初始化的theta和lambda求出的代价J
print(J) #输出一下计算的值，应该为0.693147
#result = optimize.fmin(costFunction, initial_theta, args=(X,y,initial_lambda)) #直接使用最小化的方法，效果不好
'''调用scipy中的优化算法fmin_bfgs（拟牛顿法Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno）
- costFunction是自己实现的一个求代价的函数，
- initial_theta表示初始化的值,
- fprime指定costFunction的梯度
- args是其余测参数，以元组的形式传入，最后会将最小化costFunction的theta返回
'''
result = optimize.fmin_bfgs(costFunction, initial_theta, fprime=gradient, args=(X,y,initial_lambda))
p = predict(X, result) #预测
print(u'在训练集上的准确度为%f%%'%np.mean(np.float64(p==y)*100)) # 与真实值比较，p==y返回True，转化为float
X = data[:,0:-1]
y = data[:,-1]
plotDecisionBoundary(result,X,y) #画决策边界 感觉有困难可以先放着，后期会进行更加具体的介绍，知道这么几个公式就好了。
参考文章： Logistic回归计算过程的推导 逻辑回归（Logistic Regression） Coursera ML笔记 - 逻辑回归 逻辑回归 - 理论篇
