图解机器学习总结——2、回归

2019-02-14 10:27:49 浏览数 (3)

一、回归的定义

回归指的是对于训练数据集{xi,yi}left {mathbf{ x}_i,y_i right }，其中，yiy_i是连续值。用过学习，找到函数fθ(x)f_theta left ( mathbf{ x}right )，使得：

y^i=fθ(xi)≈yi

hat{y}_i=f_theta left ( mathbf{ x}_iright )approx y_i

此时，为了度量找到的函数的优劣，设计了度量的函数，称为损失函数：

Loss=12∑i=1n(fθ(xi)−yi)2

Loss =frac{1}{2}sum_{i=1}^{n}left ( f_theta left ( mathbf{ x}_iright )-y_i right )^2

二、最小二乘学习法

最小二乘法是对LossLoss函数为最小时的参数进行学习，即：

θ^LS=argminθJLS(θ)

hat{theta }_{LS}=underset{theta }{argmin}J_{LS}left ( theta right )

对于函数fθ(x)f_theta left ( mathbf{ x}right )，若使用线性模型，即：

fθ(x)=∑j=1bθjϕj(xi)=ΘTΦ(x)

f_theta left ( mathbf{ x}right )=sum_{j=1}^{b}theta _jphi _jleft ( mathbf{x}_i right )=Theta ^TPhi left ( mathbf{x} right )

注意：ΘTheta 和ΦPhi 表示的向量。

此时，损失函数的形式为：

JLS(Θ)=12∥ΦΘ−y∥2

J_{LS}left ( Theta right )=frac{1}{2}left | Phi Theta -mathbf{y }right |^2

其中，y=(y1,⋯,yn)Tmathbf{y }=left ( y_1,cdots ,y_n right )^T是训练输出的nn维向量，ΦPhi 是一个n×bntimes b的矩阵，即：

Φ=⎛⎝⎜⎜ϕ1(x1)⋮ϕ1(xn)⋯⋱⋯ϕb(x1)⋮ϕb(xn)⎞⎠⎟⎟

Phi =begin{pmatrix} phi _1left ( mathbf{x}_1 right ) & cdots & phi _bleft ( mathbf{x}_1 right )\ vdots & ddots & vdots \ phi _1left ( mathbf{x}_n right ) & cdots & phi _bleft ( mathbf{x}_n right ) end{pmatrix}

为了能够求出JLS(Θ)J_{LS}left ( Theta right )最小值时对应的参数Θ Theta ：

▽ΘJLS=(∂JLS∂θ1,⋯,∂JLS∂θb)T=ΦTΦΘ−ΦTy

bigtriangledown _{Theta }J_{LS}=left ( frac{partial J_{LS}}{partial theta _1},cdots , frac{partial J_{LS}}{partial theta _b}right )^T=Phi ^TPhi Theta -Phi ^Tmathbf{y}

令其为00，可求得最小值时对应的参数Θ Theta ：

ΦTΦΘ=ΦTy

Phi ^TPhi Theta =Phi ^Tmathbf{y}

即：

Θ=(ΦTΦ)−1ΦTy

Theta =left ( Phi ^TPhi right )^{-1}Phi ^Tmathbf{y}

其中，(ΦTΦ)−1ΦTleft ( Phi ^TPhi right )^{-1}Phi ^T与广义逆Φ†Phi ^dagger 等价。

三、最小二乘法实例

对于如下的数据集：

画图的代码如下：

代码语言：javascript复制
#coding:UTF-8
'''
Date:20160423
@author: zhaozhiyong
'''
from pylab import *

f =open("data.txt")
x = []
y = []
for line in f.readlines():
    lines = line.strip().split("t")
    if len(lines) == 3:
        x.append(float(lines[1]))
        y.append(float(lines[2]))
f.close()

plot(x,y,".")
plt.title("data")
show()

利用最小二乘法求得的结果为： [[ 3.00774324] [ 1.69532264]]

代码如下：

代码语言：javascript复制
#coding:UTF-8
'''
Date:20160423
@author: zhaozhiyong
'''

from numpy import *

def load_data():
    f = open("data.txt")
    x = []
    y = []
    for line in f.readlines():
        lines = line.strip().split("t")
        x_tmp = []
        if len(lines) == 3:
            x_tmp.append(float(lines[0]))
            x_tmp.append(float(lines[1]))
            y.append(float(lines[2]))
        x.append(x_tmp)
    f.close()
    return mat(x), mat(y).T

def lr(x, y):
    if linalg.det(x.T * x) != 0:
        return ((x.T * x)**(-1) * (x.T) * y)    

if __name__ == "__main__":
    x, y = load_data()
    #核心的最小二乘
    w = lr(x,y)
    print w

最终的图形如下：

四、局部加权线性回归

在上图中，我们发现直线并不能很好的拟合数据点，我们可以通过对数据点的局部进行加权，即：

Loss=12∑i=1n(fθ(xi)−yi)2

Loss =frac{1}{2}sum_{i=1}^{n}left ( f_theta left ( mathbf{ x}_iright )-y_i right )^2

通常对于权值，可以取为高斯核函数：

w(i,i)=exp(|xi−x|−2k2)

wleft ( i,i right )=exp(frac{left | x_i-x right |}{-2k^2})

则此时，最优的参数ΘTheta 为：

Θ=(ΦTWΦ)−1ΦTWy

Theta =left ( Phi ^Tmathbf{W}Phi right )^{-1}Phi ^Tmathbf{W}mathbf{y}

五、最小二乘的性质

对于矩阵ΦPhi ，对其进行奇异值分解：

Φ=∑k=1min(n,b)κkψkϕTk

Phi =sum_{k=1}^{minleft ( n,b right )}kappa _kpsi _kphi _k^T

其中，κkkappa _k称为奇异值，具有非负性，ψkpsi _k称为左奇异向量，ϕkphi _k称为右奇异向量，对于左奇异向量和右奇异向量，其满足正交性：

ψTiψi′={10 if i=i′ if i≠i′

psi _i^Tpsi _{{i}'}=begin{cases} 1 & text{ if } i={i}' \ 0 & text{ if } ineq {i}' end{cases}

ϕTjϕj′={10 if j=j′ if j≠j′

phi _j^Tphi _{{j}'}=begin{cases} 1 & text{ if } j={j}' \ 0 & text{ if } jneq {j}' end{cases}

此时，矩阵ΦPhi 的广义逆矩阵Φ†Phi ^{dagger }可以表示为：

Φ†=∑k=1min(n,b)κ†kψkϕTk

Phi ^{dagger } =sum_{k=1}^{minleft ( n,b right )}kappa ^{dagger }_kpsi _kphi _k^T

其中：

κ†={1κ0 if κ≠0 if κ=0

kappa ^{dagger }=begin{cases} frac{1}{kappa } & text{ if } kappa neq 0\ 0 & text{ if } kappa = 0 end{cases}

对于训练样本的输入{xi}left { mathbf{x}_i right }，其预测值为：

(fΘLS^(x1),⋯,fΘLS^(xn))T=ΦΘLS^=ΦΦ†y

left ( f_{hat{Theta _{LS}}}left ( mathbf{x}_1 right ),cdots ,f_{hat{Theta _{LS}}}left ( mathbf{x}_n right ) right )^T=Phi hat{Theta _{LS}}=Phi Phi ^{dagger }mathbf{y}

其中，ΦΦ†Phi Phi ^{dagger }是ΦPhi 在R(Φ)Rleft ( Phi right )上的正交投影矩阵。由此可见，最小二乘法的输出向量ymathbf{y}是由R(Φ)Rleft ( Phi right )的正交投影得到的。

六、大规模数据的学习算法

对于上述的最小二乘的求解方法，需要将训练数据以矩阵的形式全部存入内容中才能进行计算，这样的方法不利于大规模的数据集，在大规模的数据集的情况下，通常使用的方法是基于梯度下降的方法，如随机梯度下降法，由于损失函数JJ是一个凸函数：

(凸函数)J(θ)Jleft ( theta right )是凸函数，指的是对任意的两地点θ1theta _1和θ2theta _2和任意的t∈[0,1]tin left [ 0,1 right ]，有： J(tθ1 (1−t)θ2)⩽tJ(θ1) (1−t)J(θ2) Jleft ( ttheta _1 left ( 1-t right )theta _2 right )leqslant tJleft ( theta _1 right ) left ( 1-t right )Jleft ( theta _2 right )

随机梯度下降法的基本步骤如下：

  • 随机初始化参数ΘTheta
  • 选择一个样本(xi,yi)left (mathbf{ x}_i,y_i right )，对参数ΘTheta 进行更新： Θ=Θ−η▽J(i)LS(Θ) Theta =Theta -eta triangledown J_{LS}^{left ( i right )}left ( Theta right )

其中：

▽J(i)LS(Θ)=Φ(xi)(fΘ(xi)−yi)

triangledown J_{LS}^{left ( i right )}left ( Theta right )=Phi left ( mathbf{x}_i right )left ( f_{Theta }left ( mathbf{x}_i right )-y_i right )

  • 直到解达到收敛精度为止，重复上述的步骤。

对于上述的回归问题，随机梯度下降法的求解结果为：

[[ 3.02488533 1.68122429]]

回归的结果如下：

程序代码如下：

代码语言：javascript复制
#coding:UTF-8
'''
Date:20160423
@author: zhaozhiyong
'''

from numpy import *

def sgd(n, p):
    f = open("data.txt")
    w = mat(zeros((1, n)))#初始化
    for line in f.readlines():
        lines = line.strip().split("t")
        x_tmp = []
        y = 0.0
        if len(lines) == 3:
            x_tmp.append(float(lines[0]))
            x_tmp.append(float(lines[1]))
            y = float(lines[2])
        x = mat(x_tmp).T
        w = w - p * (w * x - y) * x.T      
    f.close()
    return w

if __name__ == "__main__":
    w = sgd(2, 0.1)
    print w
dagger ls min sum text

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