统计力学中的概率论基础（一）

2024-05-15 08:12:50 浏览数 (1)

技术背景

统计力学是一门通过粒子的纯粹微观量来表示系统宏观量的学科，从统计分布出发，用无偏/有偏估计来研究各种不同的系综。本文内容部分参考自郑伟谋老师所著《统计力学导引》，主要介绍其中概率论基础的部分。但因为大多是个人的理解，如有差错，与参考文献作者无关。

事件与概率

假定我们抛一枚质地未知的硬币，正面事件记为

A

，反面事件记为

B

。那么经过多次的测试，可以得到一个统计概率：

P(A)=frac{n_A}{N},P(B)=frac{n_B}{N}

。这里就可以有一些基本性的结论：

P(A)geq0,P(B)geq0\ P(A) P(B)=1\

因为这里面事件

A

和事件

B

是互斥事件（发生

A

的同时不可能发生

B

），那么发生

A

或

B

的概率就可以表示为：

P(Aor B)=frac{n_A n_B}{N}=P(A) P(B)

以上就是概率函数的3个基本特性。假如在此基础上，再进行一轮测试，那么此时得到

A

的概率为：

P(A)=frac{n_A^{(1)} n_A^{(2)}}{N_1 N_2}

由于样本数的不一致，这里有：

P_1(A) P_2(A)=frac{n_A^{(1)}}{N_1} frac{n_A^{(2)}}{N_2}\ P(A)=P_1(A)frac{N_1}{N_1 N_2} P_2(A)frac{N_2}{N_1 N_2}

也就是说，如果要获取多份样本中的同一个事件的总概率，需要依照样本数做一个加权平均。

条件概率

如果问题变得更加复杂一些，我们一次抛2个硬币，并且记1号硬币正面朝上为事件

A

，反面朝上为事件

B

，2号硬币正面朝上为事件

C

，反面朝上为事件

D

。那么类似的有

P(C)=frac{n_C}{N},P(D)=frac{n_D}{N}

，这是对2号硬币的结果的概率统计。此时如果我们去统计一个联合概率，1号硬币正面朝上2号硬币也正面朝上的概率为：

P(Aand C)=frac{n_{Aand C}}{N}=frac{n_A}{N}frac{n_{Aand C}}{n_A}=P(A)P(C|A)

其中

P(C|A)

表示事件

A

发生的条件下，事件

C

发生的概率，是一个条件概率。

同样在这个案例中，因为事件

C

发生的概率为

frac{n_C}{N}

，因此在

n_A

的样本数下，事件

C

发生的频次的期望值为

n_{Aand C}=frac{n_C}{N}n_A

，因此有：

P(Aand C)=frac{n_A}{N}frac{n_{Aand C}}{n_A}=frac{n_A}{N}frac{n_C}{N}=P(A)P(C)

贝叶斯定理

满足这种条件的事件

A

和

C

，又称为独立事件。并由此可以得到贝叶斯（Bayes）定理：

P(A|C)P(C)=P(C|A)P(A)

或者写为这种更加常见的形式：

P(A|C)=frac{P(C|A)P(A)}{P(C)}

还是在这个案例中，因为我们知道第一个硬币正面朝上（事件

A

）的条件下，对应的第二个硬币，要么正面朝上（事件

C

），要么反面朝上（事件

D

），而事件

A

的概率可以表示为两个条件概率的加和：

P(A)=P(A|C) P(A|D)

该公式又称为边际分布。

累积分布函数

如果我们随机投一个骰子，它朝上的一面对应的值，有可能是整数1~6之间的一个。因为在投之前，我们并不知道会出现什么数字朝上，因此我们将朝上的数字定义为一个随机变量

X

。对于一个随机变量

X

而言，其分布函数被定义为：

F(x)=P(Xleq x)

表示的是

X

取值不大于

x

的概率，例如，开小的概率为

F(3)=P(Xleq3)=frac{1}{2}

，开大的概率为

F(6)-F(3)=P(Xleq6)-P(Xleq3)=frac{1}{2}

。其导数

f(x)=F'(x)

为概率密度函数。累积分布函数有如下的一些特性：

  1. 累积分布函数是有界的：
lim_{xrightarrow-infty}F(x)=0,lim_{xrightarrow infty}F(x)=1

。

  1. 累积分布函数具有单调性：
F(x_1)leq F(X_2),x_1leq x_2

。

P(x_1< xleq x_2)=F(x_2)-F(X_1)

。

  1. 当我们写出上面这个式子时，我们应当注意到，这是一个左开右闭的区间。其实也容易理解，比如狄拉克函数的积分在
x=x_0

处有一个突跃的位置，那么比较显然的是，

F_{xrightarrow x_0^-}(x)=0,F_{x=x_0}(x)=1,F_{xrightarrow x_0^ }(x)=1

。更一般的，我们可以理解其为右连续的累积分布函数：

lim_{xrightarrow x_0^ }F(x)=F(x_0)

。

如果考虑一个离散情形的概率密度函数，有：

f(x)Delta x=P(xleq Xleq x Delta x)

分布函数唯一地决定随机变量的全部数字特征。

对于这个投骰子的问题，虽然我们没办法知道下一次会投出什么数字来，但是我们可以计算出出现的数字的平均值，或者叫期望值：

E(X)=1*P(X=1) 2*P(X=2) ... 6*P(X=6)=frac{1}{6} frac{2}{6} ... frac{6}{6}=frac{7}{2}

也就是说，最终得到的点数的平均值应该为3.5。那么假如对于这个随机变量，有一个函数

Y=h(X)

，那么关于

Y

的期望值为：

E(Y)=E(h(X))=h(1)P(X=1) h(2)P(X=2) ... h(6)P(X=6)

对于连续型的随机变量来说，期望值可以写为：

mu(X)=E(X)=int_{-infty}^{infty}xf(x)dx

带函数的期望值可以写为：

E(h(x))=int_{-infty}^{infty}h(x)f(x)dx

，例如

X

的

gamma

阶绝对矩为：

M_{gamma}(X)=E(|X|^{gamma})=int_{-infty}^{infty}|X|^{gamma}f(x)dx

此时要回顾起一个跟期望值/平均值息息相关的函数：方差函数。在概率论中，方差被定义为：

sigma^2(X)=E[(X-E(X))^2]=E[X^2-2E(X)X E(X)^2]=E(X^2)-2[E(X)]^2 [E(X)]^2=M_2(X)-[mu(X)]^2=int_{-infty}^{infty}(x-mu)^2f(x)dx

有了方差，自然就有了标准差：

sigma(X)=sqrt{M_2(X)-[mu(X)]^2}

如果是多变量情形，我们还可以定义一个协方差（Covariance）用于衡量两个变量之间的总体偏差：

Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=E[XY-YE(X)-XE(Y) E(X)E(Y)]=E(XY)-E(X)E(Y)

需要注意的是，协方差可以用于计算一维的随机变量

X,Y

，也可以用于计算高维的随机变量

textbf{X},textbf{Y}

。我们可以想象出来，对于一个shape为

(n,)

的随机变量

textbf{X}

而言，对其计算期望值

E(textbf{X})

，得到的结果也是

(n,)

的shape。如果给定的是两个高维的随机变量

textbf{X},textbf{Y}

，假设其shape分别为

(n,)

和

(m,)

，那么得到的期望值

E(textbf{X}textbf{Y})

的结果shape为

(n,m)

。类似的，

E(textbf{X})E(textbf{Y})

的结果shape也是

(n,m)

。这样一来，协方差

Cov(textbf{X},textbf{Y})

的结果shape也是

(n,m)

。

母函数

母函数，又称生成函数（Generating function），是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息。例如我们有可能得到这样的一个母函数：

g(x)=2x^1 3x^4

这个形式的母函数表示，事件

1

发生的概率为

frac{2}{2 3}=frac{2}{5}

，事件

4

有可能发生的概率为

frac{3}{5}

。具体的母函数构造方法是这样的，还是以抛硬币为例子。假设硬币正面朝上为事件

A

，硬币反面朝上为事件

B

，那么可以这样构造一个母函数：

g(x)=P(A) xP(B),P(A) P(B)=1

这里面

x

只是一个形参，没有具体含义。那么如果我们抛两次硬币，得到的母函数形式为：

g(x)=[P(A) xP(B)][P(A) xP(B)]=x^0P(A)^2 2x^1P(A)P(B) x^2P(B)

写成这个形式之后，就可以分别获得三个不同事件的概率。事件0：两次都是正面朝上，概率为

P(0)=P(A)^2

，事件1：一次正面朝上一次反面朝上，概率为

P(1)=2P(A)P(B)

，事件2：两次都是反面朝上，概率为

P(2)=P(B)^2

。那么假设投的是一块质地均匀的硬币，这样我们得到的三个事件的概率分别为：

P(0)=frac{1}{4},P(1)=frac{1}{2},P(2)=frac{1}{4}

这里事件1记录的是一个无序事件，如果要记录为有序事件，即第一次正面朝上、第二次反面朝上和第一次反面朝上、第二次正面朝上为不同事件的话，那表示方法又会有所不同。母函数更多的用于记录可能出现的组合的数量，也就是无序事件的场景用的会更多一些。

总结概要

本文的主要内容是一些统计力学中的基础的概率论知识，如密度函数、分布函数和贝叶斯定理的一些基本概念，主要作为一个简单的知识内容记录和分享。

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参考资料

  1. 《统计力学导引》--郑伟谋
变量 函数 基础 事件 统计

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