2024-05-20 15:33:18
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在ANSYS中模拟梁单元的铰接有两种方法，分别是自由度耦合命令cp与自由度释放命令endrelease，关于这两个命令的使用，可以査阅《ANSYS工程结构数值分析》P350~P353。BEAM3单元采用cp命令，其理论可参考有限元 | 多点约束
BEAM44单元采用KEYOPT(7)释放自由度，其方法是释放“刚度矩阵”，其操作是在建立单元的过程中完成的。下面探讨其理论依据。
梁单元刚度方程
frac {EI}{l^3}
begin{bmatrix}12 & 6l & -12 & 6l \ 6l & 4l^2 & -6l & 2l^2 \
-12 & 6l & 12 & -6l \ 6l & 2l^2 & -6l & 4l^2 \
end{bmatrix}
begin{Bmatrix}
omega_1\
theta_1\
omega_2\
theta_2\
end{Bmatrix}=
begin{Bmatrix}
F_1\
M_1\
F_2\
M_2\
end{Bmatrix}
quad (1)
▲图1
在某些情况下，梁可能包含内部铰链，这会导致挠度曲线斜率的不连续性以及弯矩为零。如果我们要使用有限元方法来分析图1中所示的梁，我们将使用两个单元来离散之。铰链应只考虑一次，或者与单元1相关联，或者与单元2相关联。如果梁由两个单元离散化，一个单元右端有铰链，另一个单元左端有铰链，结果将是奇异刚度矩阵。如果单元节点2有铰，则刚度方程(1)的分块矩阵形式
left[
begin{array}{c|c}
mathbf k_{11} & mathbf k_{12} \
hline
mathbf k_{21} & mathbf k_{22} \
end{array}
right]
begin{Bmatrix}
mathbf d\
ldots \
theta_2\
end{Bmatrix} =
begin{Bmatrix}
mathbf F\
ldots \
M_2\
end{Bmatrix}
quad (2)
由(2)得
begin{split}
mathbf k_{11}mathbf d mathbf k_{12}theta_2 & = mathbf F \
mathbf k_{21} mathbf d mathbf k_{22}theta_2 & = M_2\
end{split} quad (3)
解得
theta_2 = mathbf k_{22}^{-1}(M_2-mathbf k_{21}mathbf d ) quad (4)
(mathbf k_{11}-mathbf k_{12}mathbf k_{22}^{-1}mathbf k_{21})mathbf d = mathbf F - mathbf k_{12}mathbf k_{22}^{-1}M_2 quad (5)
记
mathbf K_C = mathbf k_{11}- mathbf k_{12}mathbf k_{22}^{-1}mathbf k_{21}
则
mathbf K_C mathbf d = mathbf F quad (6)
其中
mathbf K_C =
frac {EI}{l^3}
begin{bmatrix}
3 & 3l & -3 \
l & 3l^2 & -3l\
-3 & -3l & 3 \
end{bmatrix}
按照(1)的形式，节点2为铰接的梁刚度方程为
begin{bmatrix}
3 & 3l & -3 & 0\
l & 3l^2 & -3l& 0\
-3 & -3l & 3 & 0\
0 & 0 & 0 & 0\
end{bmatrix}
begin{Bmatrix}
omega_1\
theta_1\
omega_2\
theta_2\
end{Bmatrix}=
begin{Bmatrix}
F_1\
M_1\
F_2\
0\
end{Bmatrix}-
begin{Bmatrix}
mathbf k_{12}mathbf k_{22}^{-1}M_2\
0\
end{Bmatrix}
quad (7)
▲图2
[例1] 如图2所示的结构，若划分2个单元，中间的铰接点只能考虑一次，即单元1的右节点释放自由度。单元1的刚度矩阵
k_1=frac {EI}{l^3}
begin{bmatrix}
3 & 3l & -3 & 0\
l & 3l^2 & -3l& 0\
-3 & -3l & 3 & 0\
0 & 0 & 0 & 0\
end{bmatrix}
单元1的等效节点荷载
begin{split}
f_1 & =
begin{Bmatrix}
F_1\
M_1\
F_2\
0\
end{Bmatrix}-
begin{Bmatrix}
mathbf k_{12}mathbf k_{22}^{-1}M_2\
0\
end{Bmatrix}\
& = begin{Bmatrix}
-frac {P}{2} \
-frac {Pl}{8} \
-frac {P}{2}\
0\
end{Bmatrix}-
begin{Bmatrix}
frac {6EI}{l^2} \
frac {2EI}{l} \
-frac {6EI}{l^2} \
0\
end{Bmatrix} frac {l}{4EI} frac {Pl}{8} \
& = begin{Bmatrix}
-frac {11P}{16} \
-frac {3Pl}{16} \
-frac {5P}{16}\
0\
end{Bmatrix}\
end{split}
单元2的刚度矩阵
k_2 =
frac {EI}{l^3}
begin{bmatrix}12 & 6l & -12 & 6l \ 6l & 4l^2 & -6l & 2l^2 \
-12 & 6l & 12 & -6l \ 6l & 2l^2 & -6l & 4l^2 \
end{bmatrix}
本文思路和动力学中缩减自由度一样
