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前言
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1
有4个人玩一个游戏，4个人每人自成一个组，裁判随机抽取两个人石头剪刀布(无平局)，输的那一方整个组加入另一个组，直到全部人属于同一个组，求游戏结束的最小抽取次数以及期望抽取次数。
【答案】
最小抽取次数: 3次
期望抽取次数: 略大于3次
【思路】
最小抽取次数
在最佳情况下，每次抽取都会导致两个不同组合并。初始有4个独立组，每次合并将减少一个组：
第一次抽取后，组数从4减至3。
第二次抽取后，组数从3减至2。
第三次抽取后，组数从2减至1，游戏结束。
因此，游戏结束的最小抽取次数是3次。
期望抽取次数
期望抽取次数依赖于每次抽取时，被选择的两人是否来自不同的组。对于四人来说，初始时任意两人都来自不同的组，因此首次抽取一定是有效的。随后的抽取中，虽然可能性复杂，但因为人数较少，平均情况下的抽取次数仍然接近3次。具体的计算会涉及到概率论中更复杂的组合概率计算，但在实际情况下，期望抽取次数略高于3次，因为存在已经是同一组的人被重复抽取的可能性。
总的来说，每次操作都必须有效地减少组的数量以朝向游戏结束，这样的期望次数计算依赖于各种情况下选中来自不同组的两个人的概率。在4个人的情况下，这个计算比较简单，期望次数略大于3次，具体值的计算则需要详细的概率分析。
2
你的汤碗里有 100 条面条。你被蒙住眼睛，被告知在你的碗里拿出一些面条的两端(任何面条的每一端都有相同的被选中的概率)，并将它们连接起来。直到没有空闲的末端为止。面条以这种方式形成的圈的数量是随机的。计算期望的圆数。
【思路】随机配对问题
每次连接可以看作是在随机选择一个还未配对的末端，并找到另一个末端与之配对。当你随机连接这些末端时，形成的圈的数量将会是一个随机变量。每次连接时，你都有可能开始形成一个新的圈，或者继续扩展一个已经开始形成的圈。数学上，这可以通过一个递归关系进行分析：
每次连接时形成新圈的概率：假设你已经有
