【数据结构】树与二叉树（三）：二叉树的定义、特点、性质及相关证明

5.1 树的基本概念

5.1.1 树的定义

一棵树是结点的有限集合T：
- 若T非空，则：
  - 有一个特别标出的结点，称作该树的根，记为root(T)；
  - 其余结点分成若干个不相交的非空集合T1, T2, …, Tm (m>0)，其中T1, T2, …, Tm又都是树，称作root(T)的子树。
- T 空时为空树，记作root(T)=NULL。

5.1.2 森林的定义

一个森林是0棵或多棵不相交（非空）树的集合，通常是一个有序的集合。换句话说，森林由多个树组成，这些树之间没有交集，且可以按照一定的次序排列。在森林中，每棵树都是独立的，具有根节点和子树，树与树之间没有直接的连接关系。森林是树的扩展概念，它是由多个树组成的集合。在计算机科学中，森林也被广泛应用于数据结构和算法设计中，特别是在图论和网络分析等领域。

5.1.3 树的术语

父亲（parent）、儿子（child）、兄弟（sibling）、后裔（descendant）、祖先（ancestor）
度（degree）、叶子节点（leaf node）、分支节点（internal node）
结点的层数
路径、路径长度、结点的深度、树的深度

参照前文：【数据结构】树与二叉树（一）：树（森林）的基本概念：父亲、儿子、兄弟、后裔、祖先、度、叶子结点、分支结点、结点的层数、路径、路径长度、结点的深度、树的深度

5.1.4 树的表示

【数据结构】树与二叉树（二）：树的表示C语言：树形表示法、嵌套集合表示法、嵌套括号表示法、凹入表示法

5.2 二叉树

5.2.1 二叉树

1. 定义

二叉树是一种常见的树状数据结构，它由结点的有限集合组成。一个二叉树要么是空集，被称为空二叉树，要么由一个根结点和两棵不相交的子树组成，分别称为左子树和右子树。每个结点最多有两个子结点，分别称为左子结点和右子结点。

2. 特点

二叉树的特点是每个结点最多有两个子结点，并且子结点的位置是有序的，即左子结点在前，右子结点在后。这种有序性使得二叉树在搜索、排序等算法中有广泛的应用。

在二叉树中，根结点是整个树的起始点，通过根结点可以访问到整个树的其他结点。每个结点都可以看作是一个独立的二叉树，它的左子树和右子树也是二叉树。
二叉树可以是空树，也可以是只有根结点的树，或者是由多个结点组成的树。每个结点可以包含一个数据元素，以及指向左子结点和右子结点的指针。
二叉树的形状可以各不相同，它可以是平衡的或者不平衡的，具体取决于结点的分布情况。在二叉树中，每个结点的左子树和右子树都是二叉树，因此可以通过递归的方式来处理二叉树的操作。

3. 性质

引理5.1：二叉树中层数为i的结点至多有

2^i

个，其中

i geq 0

。

这个引理表明，二叉树的每一层上的结点数量是指数级增长的。

引理5.2：高度为k的二叉树中至多有

2^{k 1}-1

个结点，其中

k geq 0

。

这个引理说明了二叉树的高度与结点数量之间的关系，高度越大，结点数量也越多。

引理5.3：设T是由n个结点构成的二叉树，其中叶结点个数为

n_0

，度数为2的结点个数为

n_2

，则有

n_0 = n_2 1

。

这个引理描述了二叉树中叶结点和度数为2的结点之间的关系，即叶结点的数量比度数为2的结点数量多1。

引理5.1：二叉树中层数为i的结点至多有

2^i

个，其中

i geq 0

。

证明：使用数学归纳法。

基础步骤： 当

i=0

时，仅有一个根结点，其层数为0。因此，第0层上至多有

2^0=1

个结点。因此，当

i=0

时，引理成立。

归纳假设： 假设当

i=j

(jgeq0)

时，二叉树中第

层上至多有

2^j

个结点。

归纳步骤： 考虑第

j 1

层上的结点个数。对于任意一个结点，其子结点个数最多为2。根据归纳假设，第

层上至多有

2^j

个结点。因此，第

j 1

层上的结点个数最多为

2times2^j=2^{j 1}

个结点。

因此，根据数学归纳法，对于任意非负整数

，二叉树中层数为

的结点至多有

2^i

个。

证毕

引理5.2：高度为k的二叉树中至多有

2^{k 1}-1

个结点，其中

k geq 0

。

对于高度为k的二叉树，我们可以计算每一层的最大结点数，并将它们相加来得到总结点数的上界。根据引理5.1，第

层上至多有

2^i

个结点。那么，第

层至第

层的结点数上界可以表示为：

2^0 2^1 2^2 ... 2^k

这是一个等比数列的和，可以使用等比数列求和公式进行计算。等比数列的求和公式为：

S = a * (r^n - 1) / (r - 1)

其中，S表示数列的和，a是首项，r是公比，n是项数。

在我们的情况下，首项a=1，公比r=2，项数n=k 1。将这些值代入公式中，我们可以得到：

2^0 2^1 2^2 ... 2^k =1 * (2^{k 1} - 1) / (2 - 1) = 2^{k 1} - 1

因此，高度为k的二叉树中至多有2^(k 1) - 1个结点。

证毕

问题1：高度为k (k≥1)的二叉树中至少有多少个结点？k 1
问题2：含有k (k≥1)个结点的二叉树高度至多为多少？ k-1

引理5.3：设T是由n个结点构成的二叉树，其中叶结点个数为

n_0

，度数为2的结点个数为

n_2

，则有

n_0 = n_2 1

。

设T是由

个结点构成的二叉树，其中叶结点个数为

n_{0}

，次数为2的结点个数为

n_{2}

。

根据引理5.3的前提条件，我们有以下等式：

n = n_{0} n_{1} n_{2}　　　　　　 (5-1)

其中，

n_{1}

是T中次数为1的结点个数。

另一方面，设二叉树T的边的个数为

。除了根结点外，每个结点和其父结点之间都有且仅有一条边，即一个结点对应一条边。因此，结点的个数

比边的个数

多1（根结点不对应边），即：

n = E 1　　　　　　　　　 (5-2)

另外，从另一个角度来看，次数为1的结点对应一条边，次数为2的结点对应两条边。因此，边的个数

可以表示为：

E = n_{1} 2n_{2}　　　　　　　　(5-3)

我们将(5-1)、(5-2)和(5-3)联立起来，通过求解这个方程组，我们可以得到

n_{0} = n_{2} 1

，即二叉树T中的叶结点个数

n_{0}

为次数为2的结点个数

n_{2}

加1。

证毕

集合数学算法二叉树数据结构

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