5.1 树的基本概念
5.1.1 树的定义
- 一棵树是结点的有限集合T：
- 若T非空，则：
- 有一个特别标出的结点，称作该树的根，记为root(T)；
- 其余结点分成若干个不相交的非空集合T1, T2, …, Tm (m>0)，其中T1, T2, …, Tm又都是树，称作root(T)的子树。
- T 空时为空树，记作root(T)=NULL。
- 若T非空，则：
5.1.2 森林的定义
一个森林是0棵或多棵不相交（非空）树的集合，通常是一个有序的集合。换句话说，森林由多个树组成，这些树之间没有交集，且可以按照一定的次序排列。在森林中，每棵树都是独立的，具有根节点和子树，树与树之间没有直接的连接关系。 森林是树的扩展概念，它是由多个树组成的集合。在计算机科学中，森林也被广泛应用于数据结构和算法设计中，特别是在图论和网络分析等领域。
5.1.3 树的术语
- 父亲（parent）、儿子（child）、兄弟（sibling）、后裔（descendant）、祖先（ancestor）
- 度（degree）、叶子节点（leaf node）、分支节点（internal node）
- 结点的层数
- 路径、路径长度、结点的深度、树的深度
参照前文：【数据结构】树与二叉树（一）：树（森林）的基本概念：父亲、儿子、兄弟、后裔、祖先、度、叶子结点、分支结点、结点的层数、路径、路径长度、结点的深度、树的深度
5.2 二叉树
5.3 树
5.3.1 树的存储结构
1. 理论基础
2. 典型实例
3. Father链接结构
4. 儿子链表链接结构
【数据结构】树与二叉树（十八）：树的存储结构——Father链接结构、儿子链表链接结构
5. 左儿子右兄弟链接结构
【数据结构】树与二叉树（十九）：树的存储结构——左儿子右兄弟链接结构（树、森林与二叉树的转化） 左儿子右兄弟链接结构通过使用每个节点的三个域（FirstChild、Data、NextBrother）来构建一棵树，同时使得树具有二叉树的性质。具体来说，每个节点包含以下信息：
- FirstChild： 存放指向该节点的大儿子（最左边的子节点）的指针。这个指针使得我们可以迅速找到一个节点的第一个子节点。
- Data： 存放节点的数据。
- NextBrother： 存放指向该节点的大兄弟（同一层中右边的兄弟节点）的指针。这个指针使得我们可以在同一层中迅速找到节点的下一个兄弟节点。
通过这样的结构，整棵树可以用左儿子右兄弟链接结构表示成一棵二叉树。这种表示方式有时候被用于一些特殊的树结构，例如二叉树、二叉树的森林等。这种结构的优点之一是它更紧凑地表示树，而不需要额外的指针来表示兄弟关系。
A
/|
B C D
/
E FA
|
B -- C -- D
|
E -- F即：
代码语言：javascript复制 A
/
B
C
/
E D
F
5.3.2 获取结点的算法
【数据结构】树与二叉树（二十）：树获取大儿子、大兄弟结点的算法（GFC、GNB）
5.3.3 树和森林的遍历
1. 先根遍历（递归）
【数据结构】树与二叉树（七）：二叉树的遍历（先序、中序、后序及其C语言实现）
a.理论
b. ADL算法PreOrder
- 基本条件检查：
IF t=NULL THEN RETURN.：如果树的根节点t为空，直接返回，递归的出口条件。
- 打印根节点数据：
PRINT(Data(t)).：打印当前树节点t的数据。
- 递归调用子树的先根遍历：
PreOrder(t.child).：递归调用先根遍历算法，对当前节点t的第一个孩子进行遍历。
- 迭代调用右兄弟节点的先根遍历：
WHILE child≠∧ DO：使用WHILE循环，判断当前节点的第一个孩子是否存在（child≠∧）。PreOrder(child).：递归调用先根遍历算法，对当前节点child进行遍历。GNB(child.child).：调用算法GNB获取当前节点child的下一个兄弟节点，然后继续遍历。
通过递归地调用先根遍历算法，依次访问树的根节点、根节点的孩子节点、孩子节点的兄弟节点，以此类推，完成对整个树的先根遍历。
c. 代码实现
代码语言：javascript复制void PreOrder(TreeNode* t) {
// 基本条件检查
if (t == NULL) {
return;
}
// 打印当前树节点的数据
printf("%c ", t->data);
// 递归调用子树的先根遍历
TreeNode* child = getFirstChild(t);
while (child != NULL) {
PreOrder(child);
// 迭代调用右兄弟节点的先根遍历
child = getNextBrother(child);
}
}2. 先根遍历（非递归）
a. ADL算法NPO
b. NPO算法解析
- 栈的初始化：
CREATE(S): 创建一个栈S用于存储待访问的节点。
- 初始节点指针
p的设置：p ← t: 将当前节点指针p设置为树的根节点t。
- 遍历过程：
NPO3. [若 p 所指结点不为空，访问 p 所指结点，将 p 压入栈，并将其 FirstChild 指针设为 p.]- 如果当前节点
p不为空，访问该节点的数据，将p压入栈，并将p的第一个孩子节点设置为新的p。
- 如果当前节点
- While 循环：
WHILE p ≠ ∧ DO- 进入一个循环，只要当前节点
p不为空。 PRINT(Data(p)): 打印当前节点的数据。S <= p: 将当前节点p压入栈。p ← FirstChild(p): 将p移动到其第一个孩子节点。
- 进入一个循环，只要当前节点
- 后续处理：
WHILE p = ∧ AND S 非空 DO- 进入一个循环，只有当
p为空而且栈S不为空时。 p <= S: 弹出栈顶元素，将其赋给p。p ← NextBrother(p): 将p移动到其下一个兄弟节点。
- 进入一个循环，只有当
- 结束条件：
IF S 非空 THEN GOTO NPO3: 如果栈S非空，跳转到标签NPO3，继续遍历。
c. 代码实现
代码语言：javascript复制// 先根遍历的非递归算法
void NorecPreOrder(TreeNode* t) {
if (t == NULL) {
return;
}
TreeNode* stack[100]; // 假设栈的最大大小为100
int top = -1;
TreeNode* p = t;
while (p != NULL || top != -1) {
if (p != NULL) {
// 访问当前节点
printf("%c ", p->data);
// 将当前节点入栈
stack[ top] = p;
// 移动到当前节点的第一个孩子
p = getFirstChild(p);
} else {
// 出栈并移动到下一个兄弟节点
p = getNextBrother(stack[top--]);
}
}
}- 参数：
t: 树的根节点。
- 局部变量：
stack[100]: 用于模拟栈的数组，存储待访问的节点。top: 栈顶指针，表示栈的当前位置。
- 算法过程：
- 如果树的根节点为空 (
t == NULL)，直接返回。 - 初始化当前节点指针
p为树的根节点t。 - 使用循环遍历整个树结构，直到当前节点
p为空且栈stack为空。 - 在循环中：
- 如果当前节点
p不为空：- 访问当前节点的数据：
printf("%c ", p->data); - 将当前节点入栈：
stack[ top] = p; - 移动到当前节点的第一个孩子：
p = getFirstChild(p);
- 访问当前节点的数据：
- 如果当前节点
p为空：- 出栈并移动到下一个兄弟节点：
p = getNextBrother(stack[top--]);
- 出栈并移动到下一个兄弟节点：
- 如果当前节点
- 循环结束后，遍历完成。
- 如果树的根节点为空 (
- 栈的作用：
- 使用栈来模拟递归调用过程，确保每个节点都能被正确地访问。
- 入栈操作保存了当前节点的信息，以便在遍历完当前节点的子树后返回到其兄弟节点。
- 这个算法的时间复杂度是 O(n)，其中 n 是树的节点数量。
3. 代码整合
代码语言：javascript复制#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
// 定义树节点
typedef struct TreeNode {
char data;
struct TreeNode* firstChild;
struct TreeNode* nextBrother;
} TreeNode;
// 创建树节点
TreeNode* createNode(char data) {
TreeNode* newNode = (TreeNode*)malloc(sizeof(TreeNode));
if (newNode != NULL) {
newNode->data = data;
newNode->firstChild = NULL;
newNode->nextBrother = NULL;
}
return newNode;
}
// 释放树节点及其子树
void freeTree(TreeNode* root) {
if (root != NULL) {
freeTree(root->firstChild);
freeTree(root->nextBrother);
free(root);
}
}
// 算法GFC：获取大儿子结点
TreeNode* getFirstChild(TreeNode* p) {
if (p != NULL && p->firstChild != NULL) {
return p->firstChild;
}
return NULL;
}
// 算法GNB：获取下一个兄弟结点
TreeNode* getNextBrother(TreeNode* p) {
if (p != NULL && p->nextBrother != NULL) {
return p->nextBrother;
}
return NULL;
}
/* 使用已知的getFirstChild和getNextBrother函数实现先根遍历以t为根指针的树。*/
void PreOrder(TreeNode* t) {
// 基本条件检查
if (t == NULL) {
return;
}
// 打印当前树节点的数据
printf("%c ", t->data);
// 递归调用子树的先根遍历
TreeNode* child = getFirstChild(t);
while (child != NULL) {
PreOrder(child);
// 迭代调用右兄弟节点的先根遍历
child = getNextBrother(child);
}
}
// 先根遍历的非递归算法
void NorecPreOrder(TreeNode* t) {
if (t == NULL) {
return;
}
TreeNode* stack[100]; // 假设栈的最大大小为100
int top = -1;
TreeNode* p = t;
while (p != NULL || top != -1) {
if (p != NULL) {
// 访问当前节点
printf("%c ", p->data);
// 将当前节点入栈
stack[ top] = p;
// 移动到当前节点的第一个孩子
p = getFirstChild(p);
} else {
// 出栈并移动到下一个兄弟节点
p = getNextBrother(stack[top--]);
}
}
}
int main() {
// 构建左儿子右兄弟链接结构的树
TreeNode* A = createNode('A');
TreeNode* B = createNode('B');
TreeNode* C = createNode('C');
TreeNode* D = createNode('D');
TreeNode* E = createNode('E');
TreeNode* F = createNode('F');
A->firstChild = B;
B->nextBrother = C;
C->nextBrother = D;
C->firstChild = E;
E->nextBrother = F;
// 使用递归先根遍历算法
printf("Recursive Preorder: n");
PreOrder(A);
printf("n");
// 使用非递归先根遍历算法
printf("Non-recursive PreOrder: n");
NorecPreOrder(A);
printf("n");
// 释放树节点
freeTree(A);
return 0;
}
