专栏：数学建模学习笔记
第一部分：插值的基本原理及应用
1. 插值的基本原理
插值是一种在已知数据点之间估算函数值的方法。它在数据分析、信号处理和数值分析中具有广泛应用。插值的目标是通过构造一个插值函数，使该函数在给定的数据点处具有精确的函数值。
1.1 插值多项式
1.2 拉格朗日插值
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 拉格朗日基函数
def lagrange_basis(x, x_values, j):
basis = 1
for i in range(len(x_values)):
if i != j:
basis *= (x - x_values[i]) / (x_values[j] - x_values[i])
return basis
# 拉格朗日插值多项式
def lagrange_interpolation(x, x_values, y_values):
interpolation = 0
for j in range(len(y_values)):
interpolation = y_values[j] * lagrange_basis(x, x_values, j)
return interpolation
# 数据点
x_values = np.array([0, 1, 2, 3, 4, 5])
y_values = np.array([1, 3, 2, 5, 7, 8])
# 插值点
x_interp = np.linspace(0, 5, 100)
y_interp = [lagrange_interpolation(x, x_values, y_values) for x in x_interp]
# 绘图
plt.plot(x_values, y_values, 'o', label='Data points')
plt.plot(x_interp, y_interp, '-', label='Lagrange Interpolation')
plt.legend()
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.show()
1.3 牛顿插值
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 计算差分商
def divided_diff(x_values, y_values):
n = len(x_values)
coef = np.zeros([n, n])
coef[:,0] = y_values
for j in range(1,n):
for i in range(n-j):
coef[i][j] = (coef[i 1][j-1] - coef[i][j-1]) / (x_values[i j] - x_values[i])
return coef[0,:]
# 牛顿插值多项式
def newton_interpolation(x, x_values, coef):
n = len(x_values) - 1
p = coef[n]
for k in range(1,n 1):
p = coef[n-k] (x -x_values[n-k])*p
return p
# 数据点
x_values = np.array([0, 1, 2, 3, 4, 5])
y_values = np.array([1, 3, 2, 5, 7, 8])
# 计算差分商系数
coef = divided_diff(x_values, y_values)
# 插值点
x_interp = np.linspace(0, 5, 100)
y_interp = [newton_interpolation(x, x_values, coef) for x in x_interp]
# 绘图
plt.plot(x_values, y_values, 'o', label='Data points')
plt.plot(x_interp, y_interp, '-', label='Newton Interpolation')
plt.legend()
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.show()
1.4 样条插值
样条插值是一种分段插值方法。常见的样条插值包括线性样条和三次样条。三次样条插值具有良好的光滑性和逼近性能，是一种常用的插值方法。
三次样条插值代码示例：
代码语言：javascript复制import numpy as np
from scipy.interpolate import CubicSpline
import matplotlib.pyplot as plt
# 数据点
x = np.array([0, 1, 2, 3, 4, 5])
y = np.array([1, 3, 2, 5, 7, 8])
# 创建三次样条插值对象
cs = CubicSpline(x, y)
# 插值点
x_interp = np.linspace(0, 5, 100)
y_interp = cs(x_interp)
# 绘图
plt.plot(x, y, 'o', label='Data points')
plt.plot(x_interp, y_interp, '-', label='Cubic Spline Interpolation')
plt.legend()
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.show()
2. 插值的Python实现
Python 提供了丰富的库来实现插值方法，主要包括 NumPy 和 SciPy 库。
2.1 使用 NumPy 进行插值
NumPy 提供了一些基本的插值函数，例如 numpy.interp 可以进行一维线性插值。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 原始数据点
x = np.linspace(0, 10, 10)
y = np.sin(x)
# 插值点
x_interp = np.linspace(0, 10, 100)
y_interp = np.interp(x_interp, x, y)
# 绘图
plt.plot(x, y, 'o', label='Original data')
plt.plot(x_interp, y_interp, '-', label='Interpolated data')
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.legend()
plt.show()
2.2 使用 SciPy 进行插值
SciPy 提供了更加全面的插值函数，例如 scipy.interpolate.interp1d 和 scipy.interpolate.CubicSpline。
2.2.1 一维插值
代码语言：javascript复制from scipy.interpolate import interp1d
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 原始数据点
x = np.linspace(0, 10, 10)
y = np.sin(x)
# 创建插值对象
linear_interp = interp1d(x, y, kind='linear')
cubic_interp = interp1d(x, y, kind='cubic')
# 插值点
x_interp = np.linspace(0, 10, 100)
y_linear = linear_interp(x_interp)
y_cubic = cubic_interp(x_interp)
# 绘图
plt.plot(x, y, 'o', label='Original data')
plt.plot(x_interp, y_linear, '-', label='Linear interpolation')
plt.plot(x_interp, y_cubic, '--', label='Cubic interpolation')
plt.legend()
plt.show()
2.2.2 二维插值
代码语言：javascript复制from scipy.interpolate import RectBivariateSpline
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 原始数据点
x = np.linspace(0, 10, 10)
y = np.linspace(0, 10, 10)
z = np.sin(x[:, None] y[None, :])
# 创建插值对象
linear_interp = RectBivariateSpline(x, y, z, kx=1, ky=1)
cubic_interp = RectBivariateSpline(x, y, z, kx=3, ky=3)
# 插值点
x_interp = np.linspace(0, 10, 100)
y_interp = np.linspace(0, 10, 100)
z_linear = linear_interp(x_interp, y_interp)
z_cubic = cubic_interp(x_interp, y_interp)
# 绘图
plt.subplot(1, 2, 1)
plt.imshow(z_linear, extent=(0, 10, 0, 10), origin='lower', aspect='auto')
plt.title('Linear interpolation')
plt.subplot(1, 2, 2)
plt.imshow(z_cubic, extent=(0, 10, 0, 10), origin='lower', aspect='auto')
plt.title('Cubic interpolation')
plt.show()
3. 插值的应用场景
插值在许多实际问题中都有广泛的应用，例如：
3.1 数据平滑和填补
在处理实验数据时，可能会遇到一些缺失值或噪声数据。插值可以用于平滑数据和填补缺失值，使数据更加连贯。
代码语言：javascript复制import numpy as np
from scipy.interpolate import interp1d
import matplotlib.pyplot as plt
# 原始数据点，包含缺失值
x = np.array([0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9])
y = np.array([3, 2, 7, 1, 8, 6, 2, 5])
# 创建插值对象
f_linear = interp1d(x, y, kind='linear')
# 插值点，包括原始数据点和缺失值
x_interp = np.arange(0, 10, 1)
y_interp = f_linear(x_interp)
# 绘图
plt.plot(x, y, 'o', label='Original data')
plt.plot(x_interp, y_interp, '-', label='Interpolated data')
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.legend()
plt.show()
3.2 图像处理
在图像处理领域，插值常用于图像的放大、缩小和旋转。例如，双线性插值和双三次插值是常用的图像插值方法。
代码语言：javascript复制import numpy as np
from scipy.ndimage import zoom
import matplotlib.pyplot as plt
from skimage import data
# 加载示例图像
image = data.camera()
# 使用双线性插值进行图像缩放
zoom_factor = 2
image_zoomed = zoom(image, zoom_factor, order=1) # order=1 表示双线性插值
# 显示原始图像和缩放后的图像
plt.subplot(1, 2, 1)
plt.title('Original Image')
plt.imshow(image, cmap='gray')
plt.subplot(1, 2, 2)
plt.title('Zoomed Image')
plt.imshow(image_zoomed, cmap='gray')
plt.show()
3.3 数值模拟
在数值模拟中，插值用于构造离散点之间的连续函数。例如，在有限元方法中，插值用于构造形函数。
代码语言：javascript复制import numpy as np
from scipy.interpolate import CubicSpline
import matplotlib.pyplot as plt
# 离散点
x = np.linspace(0, 10, 10)
y = np.sin(x)
# 创建三次样条插值对象
cs = CubicSpline(x, y)
# 插值点
x_interp = np.linspace(0, 10, 100)
y_interp = cs(x_interp)
# 绘图
plt.plot(x, y, 'o', label='Discrete points')
plt.plot(x_interp, y_interp, '-', label='Cubic Spline Interpolation')
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.legend()
plt.show()
4. 实例分析
为了更好地理解插值方法，我们来看一个具体的实例分析。
实例1：空气质量数据的校准
在2019年的全国大学生数学建模竞赛中，赛题涉及到空气质量数据的校准问题，需要使用插值算法来处理不完整的数据。
代码语言：javascript复制import numpy as np
from scipy.interpolate import interp1d
import matplotlib.pyplot as plt
# 原始数据点
days = np.array([1, 2, 4, 7, 8, 10])
aqi = np.array([50, 55, 70, 65, 60, 75])
# 创建插值对象
interp = interp1d(days, aqi, kind='cubic')
# 插值点
days_interp = np.linspace(1, 10, 100)
aqi_interp = interp(days_interp)
# 绘图
plt.plot(days, aqi, 'o', label='Original data')
plt.plot(days_interp, aqi_interp, '-', label='Interpolated data')
plt.xlabel('Days')
plt.ylabel('AQI')
plt.legend()
plt.show()
实例2：波浪能最大输出功率设计
在2022年的全国大学生数学建模竞赛中，赛题涉及到波浪能最大输出功率的设计问题，需要使用插值算法来优化设计参数。
代码语言：javascript复制import numpy as np
from scipy.interpolate import interp1d
import matplotlib.pyplot as plt
# 原始数据点
wave_heights = np.array([0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 2.5, 3.0])
power_output = np.array([10, 20, 30, 40, 50, 60])
# 创建插值对象
interp = interp1d(wave_heights, power_output, kind='cubic')
# 插值点
wave_heights_interp = np.linspace(0.5, 3.0, 100)
power_output_interp = interp(wave_heights_interp)
# 绘图
plt.plot(wave_heights, power_output, 'o', label='Original data')
plt.plot(wave_heights_interp, power_output_interp, '-', label='Interpolated data')
plt.xlabel('Wave Heights (m)')
plt.ylabel('Power Output (kW)')
plt.legend()
plt.show()、
第二部分：拟合的基本原理及应用
1. 拟合的基本原理
拟合是一种通过选择适当的函数形式，使该函数尽可能逼近已知数据点的方法。拟合的目的是通过已有的数据点，预测或估计未知数据点的值。拟合方法包括线性拟合、多项式拟合、指数拟合、对数拟合等。
1.1 线性拟合
线性拟合假设数据点之间的关系是线性的，通过最小二乘法求解线性方程组，得到拟合直线。线性拟合的目标函数为：
from scipy.optimize import curve_fit
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 线性拟合函数
def linear_func(x, a, b):
return a * x b
# 数据点
xdata = np.linspace(0, 10, 10)
ydata = 2.5 * xdata 1.0 np.random.normal(size=len(xdata))
# 拟合
popt, pcov = curve_fit(linear_func, xdata, ydata)
yfit = linear_func(xdata, *popt)
# 绘图
plt.plot(xdata, ydata, 'o', label='Data')
plt.plot(xdata, yfit, '-', label='Linear Fit')
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.legend()
plt.show()
1.2 多项式拟合
多项式拟合使用多项式函数来拟合数据点。多项式的阶数越高，拟合效果越好，但也容易出现过拟合现象。多项式拟合的目标函数为：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 数据点
xdata = np.linspace(0, 10, 10)
ydata = 2.5 * xdata**2 1.0 np.random.normal(size=len(xdata))
# 多项式拟合
p = np.polyfit(xdata, ydata, 2)
yfit = np.polyval(p, xdata)
# 绘图
plt.plot(xdata, ydata, 'o', label='Data')
plt.plot(xdata, yfit, '-', label='Polynomial Fit')
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.legend()
plt.show()
1.3 指数拟合
指数拟合假设数据点之间的关系是指数函数，通过对数变换和线性拟合相结合的方法进行求解。指数拟合的目标函数为：
from scipy.optimize import curve_fit
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 指数拟合函数
def exponential_func(x, a, b):
return a * np.exp(b * x)
# 数据点
xdata = np.linspace(0, 4, 10)
ydata = 2.5 * np.exp(1.3 * xdata) np.random.normal(size=len(xdata))
# 拟合
popt, pcov = curve_fit(exponential_func, xdata, ydata)
yfit = exponential_func(xdata, *popt)
# 绘图
plt.plot(xdata, ydata, 'o', label='Data')
plt.plot(xdata, yfit, '-', label='Exponential Fit')
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.legend()
plt.show()
1.4 对数拟合
对数拟合假设数据点之间的关系是对数函数，通过非线性最小二乘法进行求解。对数拟合的目标函数为：
from scipy.optimize import curve_fit
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 对数拟合函数
def logarithmic_func(x, a, b):
return a * np.log(x) b
# 数据点
xdata = np.linspace(1, 10, 10)
ydata = 2.5 * np.log(xdata) 1.0 np.random.normal(size=len(xdata))
# 拟合
popt, pcov = curve_fit(logarithmic_func, xdata, ydata)
yfit = logarithmic_func(xdata, *popt)
# 绘图
plt.plot(xdata, ydata, 'o', label='Data')
plt.plot(xdata, yfit, '-', label='Logarithmic Fit')
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.legend()
plt.show()
1.5 幂函数拟合
幂函数拟合假设数据点之间的关系是幂函数，通过对数变换和线性拟合相结合的方法进行求解。幂函数拟合的目标函数为：
from scipy.optimize import curve_fit
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 幂函数拟合函数
def power_func(x, a, b):
return a * x**b
# 数据点
xdata = np.linspace(1, 10, 10)
ydata = 2.5 * xdata**1.5 np.random.normal(size=len(xdata))
# 拟合
popt, pcov = curve_fit(power_func, xdata, ydata)
yfit = power_func(xdata, *popt)
# 绘图
plt.plot(xdata, ydata, 'o', label='Data')
plt.plot(xdata, yfit, '-', label='Power Fit')
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.legend()
plt.show()
2. 拟合的Python实现
Python 提供了丰富的库来处理拟合问题，常用的库包括 SciPy 和 NumPy。
2.1 使用 SciPy 进行拟合
SciPy 提供了多种拟合函数，例如 scipy.optimize.curve_fit 可以进行非线性拟合。
2.1.1 线性拟合
代码语言：javascript复制from scipy.optimize import curve_fit
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 线性拟合函数
def linear_func(x, a, b):
return a * x b
# 数据点
xdata = np.linspace(0, 10, 50)
ydata = 2.5 * xdata 1.0 0.5 * np.random.normal(size=len(xdata))
# 拟合
popt, pcov = curve_fit(linear_func, xdata, ydata)
yfit = linear_func(xdata, *popt)
# 绘图
plt.plot(xdata, ydata, 'b-', label='Data')
plt.plot(xdata, yfit, 'r-', label='Fit: a=%.3f, b=%.3f' % tuple(popt))
plt.legend()
plt.show()
2.1.2 多项式拟合
代码语言：javascript复制import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 数据点
xdata = np.linspace(0, 10, 50)
ydata = 2.5 * xdata**2 1.0 0.5 * np.random.normal(size=len(xdata))
# 拟合
p = np.polyfit(xdata, ydata, 2)
yfit = np.polyval(p, xdata)
# 绘图
plt.plot(xdata, ydata, 'b-', label='Data')
plt.plot(xdata, yfit, 'r-', label='Polynomial fit')
plt.legend()
plt.show()
2.1.3 指数拟合
代码语言：javascript复制from scipy.optimize import curve_fit
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 指数拟合函数
def exponential_func(x, a, b):
return a * np.exp(b * x)
# 数据点
xdata = np.linspace(0, 4, 50)
ydata = 2.5 * np.exp(1.3 * xdata) 0.5 * np.random.normal(size=len(xdata))
# 拟合
popt, pcov = curve_fit(exponential_func, xdata, ydata)
yfit = exponential_func(xdata, *popt)
# 绘图
plt.plot(xdata, ydata, 'b-', label='Data')
plt.plot(xdata, yfit, 'r-', label='Fit: a=%.3f, b=%.3f' % tuple(popt))
plt.legend()
plt.show()
2.1.4 对数拟合
代码语言：javascript复制from scipy.optimize import curve_fit
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 对数拟合函数
def logarithmic_func(x, a, b):
return a * np.log(x) b
# 数据点
xdata = np.linspace(1, 10, 50)
ydata = 2.5 * np.log(xdata) 1.0 0.5 * np.random.normal(size=len(xdata))
# 拟合
popt, pcov = curve_fit(logarithmic_func, xdata, ydata)
yfit = logarithmic_func(xdata, *popt)
# 绘图
plt.plot(xdata, ydata, 'b-', label='Data')
plt.plot(xdata, yfit, 'r-', label='Fit: a=%.3f, b=%.3f' % tuple(popt))
plt.legend()
plt.show()
2.1.5 幂函数拟合
代码语言：javascript复制from scipy.optimize import curve_fit
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 幂函数拟合函数
def power_func(x, a, b):
return a * x**b
# 数据点
xdata = np.linspace(1, 10, 50)
ydata = 2.5 * xdata**1.5 0.5 * np.random.normal(size=len(xdata))
# 拟合
popt, pcov = curve_fit(power_func, xdata, ydata)
yfit = power_func(xdata, *popt)
# 绘图
plt.plot(xdata, ydata, 'b-', label='Data')
plt.plot(xdata, yfit, 'r-', label='Fit: a=%.3f, b=%.3f' % tuple(popt))
plt.legend()
plt.show()
3. 拟合的应用场景
拟合在许多实际问题中都有广泛的应用，例如：
3.1 数据预测
在时间序列分析中，拟合常用于预测未来的数据点。例如，线性回归模型可以用于预测股票价格、温度变化等。
代码语言：javascript复制from scipy.optimize import curve_fit
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 线性拟合函数
def linear_func(x, a, b):
return a * x b
# 数据点
xdata = np.linspace(0, 10, 10)
ydata = 2.5 * xdata 1.0 np.random.normal(size=len(xdata))
# 拟合
popt, pcov = curve_fit(linear_func, xdata, ydata)
yfit = linear_func(xdata, *popt)
# 预测未来的数据点
x_predict = np.linspace(10, 15, 5)
y_predict = linear_func(x_predict, *popt)
# 绘图
plt.plot(xdata, ydata, 'o', label='Data')
plt.plot(xdata, yfit, '-', label='Linear Fit')
plt.plot(x_predict, y_predict, 'x', label='Prediction')
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.legend()
plt.show()
3.2 数据建模
在机器学习中，拟合用于构建回归模型，以揭示数据之间的关系。常见的回归模型包括线性回归、逻辑回归和多项式回归。
代码语言：javascript复制import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 数据点
xdata = np.linspace(0, 10, 10)
ydata = 2.5 * xdata**2 1.0 np.random.normal(size=len(xdata))
# 多项式拟合
p = np.polyfit(xdata, ydata, 2)
yfit = np.polyval(p, xdata)
# 绘图
plt.plot(xdata, ydata, 'o', label='Data')
plt.plot(xdata, yfit, '-', label='Polynomial Fit')
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.legend()
plt.show()
3.3 物理实验数据分析
在物理实验中，拟合用于分析实验数据，提取物理参数。例如，通过拟合实验数据，可以确定材料的弹性模量、热导率等物理参数。
代码语言：javascript复制from scipy.optimize import curve_fit
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 指数拟合函数
def exponential_func(x, a, b):
return a * np.exp(b * x)
# 实验数据点
xdata = np.linspace(0, 4, 10)
ydata = 2.5 * np.exp(1.3 * xdata) np.random.normal(size=len(xdata))
# 拟合
popt, pcov = curve_fit(exponential_func, xdata, ydata)
yfit = exponential_func(xdata, *popt)
# 绘图
plt.plot(xdata, ydata, 'o', label='Data')
plt.plot(xdata, yfit, '-', label='Exponential Fit')
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.legend()
plt.show()
3.4 工程设计
在工程设计中，拟合用于优化设计参数。例如，在机械设计中，通过拟合实验数据，可以优化零件的尺寸和材料选择。
代码语言：javascript复制from scipy.optimize import curve_fit
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 幂函数拟合函数
def power_func(x, a, b):
return a * x**b
# 实验数据点
xdata = np.linspace(1, 10, 10)
ydata = 2.5 * xdata**1.5 np.random.normal(size=len(xdata))
# 拟合
popt, pcov = curve_fit(power_func, xdata, ydata)
yfit = power_func(xdata, *popt)
# 绘图
plt.plot(xdata, ydata, 'o', label='Data')
plt.plot(xdata, yfit, '-', label='Power Fit')
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.legend()
plt.show()
4. 实例分析
为了更好地理解拟合方法，我们来看几个具体的实例分析。
实例1：股票价格预测
通过拟合历史股票价格数据，可以预测未来的股票价格。
代码语言：javascript复制from scipy.optimize import curve_fit
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 线性拟合函数
def linear_func(x, a, b):
return a * x b
# 历史股票价格数据
days = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10])
prices = np.array([10, 11, 13, 14, 15, 18, 19, 21, 22, 24])
# 拟合
popt, pcov = curve_fit(linear_func, days, prices)
predicted_prices = linear_func(days, *popt)
# 绘图
plt.plot(days, prices, 'o', label='Historical data')
plt.plot(days, predicted_prices, '-', label='Predicted data')
plt.xlabel('Days')
plt.ylabel('Prices')
plt.legend()
plt.show()
实例2：温度变化分析
通过拟合温度数据，可以分析温度变化的趋势。
代码语言：javascript复制from scipy.optimize import curve_fit
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 指数拟合函数
def exponential_func(x, a, b):
return a * np.exp(b * x)
# 温度数据
days = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10])
temperatures = np.array([15, 17, 20, 22, 24, 28, 30, 32, 35, 37])
# 拟合
popt, pcov = curve_fit(exponential_func, days, temperatures)
predicted_temperatures = exponential_func(days, *popt)
# 绘图
plt.plot(days, temperatures, 'o', label='Historical data')
plt.plot(days, predicted_temperatures, '-', label='Predicted data')
plt.xlabel('Days')
plt.ylabel('Temperatures')
plt.legend()
plt.show()
总结
插值与拟合的基本原理、常用方法及其Python实现，涵盖了拉格朗日插值、牛顿插值、样条插值等插值方法，以及线性拟合、多项式拟合、指数拟合、对数拟合和幂函数拟合等拟合方法，并通过具体的代码实例展示了插值与拟合在数据平滑、图像处理、数值模拟、数据预测、数据建模、物理实验数据分析和工程设计中的实际应用。
