折半查找的概念与性能分析
折半查找（Binary Search）是一种高效的查找算法，适用于在已排序的数组中快速定位特定元素。它通过将搜索区间对半分，逐步缩小查找范围，从而实现高效查找。其时间复杂度为
，使其在处理大规模数据时表现优异。
折半查找的基本概念
折半查找的工作原理如下：
- 初始化：设定两个指针
low和high，分别指向数组的起始和结束位置。 - 计算中点：计算当前区间的中点
mid，即
。
- 比较：
- 如果目标元素等于中点元素，则查找成功。
- 如果目标元素小于中点元素，则在左半部分继续查找，将
high设置为mid - 1。 - 如果目标元素大于中点元素，则在右半部分继续查找，将
low设置为mid 1。
- 重复：继续执行上述步骤，直到找到目标元素或区间
low超过high（表示查找失败）。
平均查找长度（ASL）的计算
折半查找的 平均查找长度（ASL） 衡量了查找操作的效率。在折半查找中，ASL 的计算公式如下：
- 查找成功的 ASL 查找成功的平均查找长度（ASL）计算公式为：
其中
是第
个元素的查找深度，
是元素总数。这个公式计算了每个成功查找的平均比较次数。
- 查找不成功的 ASL 查找不成功的平均查找长度（ASL）计算公式为：
其中
是第
个节点的深度，
是节点总数，包括额外的虚拟节点（表示查找不成功的情况）。这个公式计算了在查找失败时，所需的平均比较次数。
进一步地，对于大规模数据，查找不成功的 ASL 近似为
，因为树的深度与数据的对数成正比。
示例：100个元素的折半查找
假设我们在一个包含 100 个元素的已排序数组中进行折半查找：
- 查找成功的 ASL 计算成功查找的 ASL 需要对每个元素进行深度计算，然后求其平均值。由于公式涉及到每个元素的具体深度，具体计算可能较复杂，但可以使用以下公式的简化形式进行近似：
对于
：
平均比较次数大约为 5.741 次。
- 查找不成功的 ASL 对于不成功的查找，ASL 为：
平均比较次数大约为 7.644 次。
总结一
折半查找是一种高效的查找算法，适用于已排序的数组。其平均查找长度（ASL）可以通过公式
计算。在包含 100 个元素的数组中，折半查找的成功查找的平均比较次数约为 5.741 次，而不成功查找的平均比较次数约为 7.644 次。这些性能指标有助于评估折半查找在实际应用中的效率，并为优化查找操作提供依据。
示例：100个元素折半查找，查找成功的最多比较次数
对于折半查找（Binary Search），成功查找时的最多比较次数是与查找树的高度相关的。在最坏的情况下，即查找成功但需要经过树的所有层时，这个次数等于树的最大深度。
折半查找的树结构
在折半查找中，数据被组织成一棵平衡的二叉搜索树。树的高度与元素数量
之间的关系可以用对数函数来描述：
其中：
是以 2 为底的对数，表示树的高度。
表示向上取整。
示例：100个元素折半查找
对于一个包含 100 个元素的已排序数组：
- 计算树的高度 计算树的最大深度（即最多比较次数）：
计算 (log_2 101)：
向上取整：
因此，最多需要 7 次比较 来成功查找一个元素。
总结二
对于一个包含 100 个元素的折半查找，成功查找的最多比较次数为 7 次。这是因为在最坏的情况下，查找成功需要遍历整个树的深度，而树的深度为 (lceil log_2 (100 1) rceil)。这种效率使得折半查找在处理大量数据时非常高效。
