密码学[2]：群 环 域

2023-10-27 12:01:15 浏览数 (2)

1 交换群 Commutative Groups

大白话

一个集合 G 和该集合上的某种二元运算。群 G 中的两个元素通过某种二元运算可得到该群中的另一个元素。群要满足一些性质，比如交换律、结合律、元素存在逆等。

定义

交换群 (G, ·) 包含两部分：

  • 集合 G
  • 二元运算 ·，即 G×G -> G，G 中的两个元素通过该二元运算后生成的元素仍然应该属于该 G

性质：交换律，结合律，存在中立元（任何 G 中的元素 g 与该元素结合后仍然是 g），每个元素都存在逆。

例如，(Z, ) 是一个群，Z 表示整数集合，映射关系 · 是加法 ，加法运算显然满足交换律和结合律，中立元素是 0（对于群 G 中的任何元素 g，g 0 = g），g 的逆是 -g（对比如下定义，e = 0，g (-g) = 0）。

原文

其它例子

(Z_6, )

如上式子也是群，Z_6 表示模 6 的余数集合，满足：交换律和结合律，中立元素是 0，g 的逆是 6 - g，因为 g (6 - g) = 6（对比如上定义，e = 6）。

有限群（finite group）：群中的元素个数是有限的。群的个数称为阶（order）。如上例子 (Z_6 , ) 的阶是 6。

循环群（cyclic group）：存在生成器（generator），群 G 中的每个元素都可以通过对其多次应用群法则后可以得到。

  • 例如，对于 (Z, )，生成器是 1，因为每个整数都可以通过重复加 1 得到。
  • 例如，对于 (Z_5^* , ·)，其中 Z_5^* = Z_5 - {0}，有 2^1 = 2，2^2 = 4，2^3 = 3，2^4 = 4，所以 2 是 (Z_5^* , ·) 的生成器； 3^1 = 3，3^2 = 4，3^3 = 2，3^4 = 1，所以 3 也是 (Z_5^* , ·) 的生成器。
  • 对于模为 n ∈ N 且 n ≥ 2 的余数类群 (Z_n , )，生成器是 1，且群的个数有限，所以 (Z_n , ) 是阶为 n 的有限循环群。

1.1 指数映射 Exponential Map

如果 G 是一个阶为 n，生成器为 g ∈ G 的循环群，那么存在指数映射，将余数类群上的加法运算 (Z_n , ) 映射到 G 的群法则上：

g^{(·)}: Z_n rightarrow G, xrightarrow g^x

标量乘法（Scalar multiplication）：如果 (G, ) 被写作了加法形式，那么指数映射被称为标量乘法，形式如下：

(·) · g: Z_n rightarrow G ; x rightarrow x · g

密码学算法通常使用阶 n 非常大的有限循环群，意味着对于非常大的余数类，通过生成器与自身的重复相乘来计算指数映射是不可行的 。如下算法 square and multiply 可在大约 k 步内计算指数映射，k 是指数的长度。

例如，3 ∈ Z_5^∗ 是 (Z_5^∗ , ·) 的一个生成器，所以可将 Z_4 上的加法运算映射到 Z_5^∗ 上的乘法运算：

3^{(·)}: Z_n rightarrow Z_5^*, xrightarrow 3^x

例如

3^{1 3 2} = 3^2 = 4

先在 (Z_4 , ) 上计算了 1 3 2，然后通过指数映射3^{(·)} 映射到 4

由于指数映射遵循群法则，也可以先在 Z_5^* 上计算，结果是一样的：

3^1 · 3^3 · 3^2 = 3 · 2 · 4 = 1 · 4 = 4

由于指数映射是遵循群法则的一对一映射，该映射对于 g 也有一个逆，叫做基为 g 的离散对数映射：

log_g(·): G rightarrow Z_n; x rightarrow log_g(x)

离散对数映射在密码学中比较重要，因为存在有限循环群，计算指数映射比较快，而计算对数映射比较慢。

例如，对于前面例子中的指数映射 3^{(·)} ，它的逆是基为 3 的对数映射：

log_3{(·)}: Z_5^* rightarrow Z_4;x rightarrow log_3(x)

不同于指数映射 3^{(·)} ，我们无法计算该映射，只能一个一个去试。例如，为了计算 log_3(4) ，我们只能找一个 x ∈ Z_4 ，使得 3^x = 4，这需要写下 3^{(·)} 所有的 image：

3^0 = 1, 3^1 = 3, 3^2 = 4, 3^3 = 2

由于 log_3(·) 是 3^{(·)} 的逆，可以通过这些 images 来计算离散对数：

log_3(1) = 0, log_3(2) = 3, log_3(3) = 1, log_3(4) = 2

可以看到，计算对数映射是不可能的，我们只能写下指数映射到所有 image，但在现实世界中群上比较大的，不可能写出指数映射的所有 image

1.2 因子群 Factor Groups

有限循环群的基本定理（fundamental theorem of finite cyclic groups）：如果 G 是阶为 n 的有限循环群，那么每个子群 G^′ 都是一个有限循环群，G^′ 的阶是 n 的一个因数。对于 n 的每个因子 k，G 都只有一个阶为 k 为子群。

对于阶为 n 都有限循环群 G，k 是 n 的一个因子，则 Gk 为 G 的子群中唯一阶为 k 的有限循环群，称为 G 的因子群（factor group）。

密码协议通常假定存在素数阶的有限循环群。但在实际中，这些协议不是定义在素数阶的群上，这需要通过余因子清除（cofactor clearing）来确保运算不是在群本身，而是在它的（大）素数阶子群上。

可将 g ∈ Gk 映射到 e ∈ G，通过与将 g 与自身乘 k 次：

g^k = e

因此，如果 c := n div k 是 k 在 n 中的余因子（cofactor），则 g ∈ G 可映射到因子群 Gk 上，通过将 g 与自身相乘 c 次。可定义如下映射，在密码学中被称为余因子清除（cofactor clearing）：

(·)^c: G rightarrow Gk: g rightarrow g^c

例如，对于有限循环群 (Z_5^* , ·)，阶是 4，4 有因子 1, 2, 4，且遵循有限循环群的基本定理，即有 3 个子群。Z_5^*[1] = {1}，Z_5^*[4] = Z_5^* ，Z_5^*[2] = {1, 4}。Z_5^* 不是素数阶群，4 唯一的素数因子是 2，2 在 4 中的余因子也是 2，所以得到余因子清除映射 (·)^2: Z_5^* rightarrow Z_5^*[2] 。将该映射应用到 Z_5^* ，得到映射到 Z_5^*[2] 中的元素：

1^2 = 1, 2^2 = 4, 3^2 = 4, 4^2 = 1

1.3 配对 Parings

配对映射（Paring map）：G_1 ，G_2 ，G_3 均为交换群，配对映射定义如下：

e(·, ·): G_1 times G_2 rightarrow G_3

(g_1, g_2) 取自 G_1 和 G_2 ，将他们映射到 G_3 ，这种映射具有双线性（bilinearity），意味着对于 g_1, g_1^{'} ∈ G_1 和 g_1, g_2^{'} ∈ G_1 ，有：有：

e(g_1 · g_1^{'}, g_2) = e(g_1, g_2) · e(g_1^{'}, g_2)

和

e(g_1, g_2 · g_2^{'}) = e(g_1, g_2) · e(g_1, g_2^{'})

也就是说，双线性意味着先在 G_3 上执行群运算然后再执行双线性映射，或者先执行双线性映射再在 G_3 执行群运算都可以。

配对映射是非退化的（non-degenerate）：如果配对的结果是 G_3 中的中立元，则其中一个输入必然是 G_1 或 G_2 中的中立元。

例如，G_1 ，G_2 ，G_3 都是 (Z, )，如下映射是非退化的配对：

e(·, ·): Z times Z rightarrow Z (a, b) rightarrow a · b

非线性遵循加法分配律，即 e(a b, c) = (a b)· c = a · c b · c = e(a, c) e(b, c)

假设 e(a, b) = 0 ，那么a · b = 0 ，意味着 a 或 b 必然是 0 。

1.4 群 Cryptographic Groups

The Discrete Logarithm Problem

离散对数问题（Discrete Logarithm Problem，DLP）：对于阶为 r，生成器为 g 的有限循环群 G，存在指数映射 g^{(·)}: Z_r rightarrow G; x rightarrow g^x 将余数类 Z_r 群映射到 G 上。Discrete Logarithm Problem 的任务是找到该映射的逆，也就是找到 x ∈ Z_r ，使得对于给定 h, g ∈ G 满足：

h = g^x

假设在有的群上求解 DDH 不可行，这样的群称为 DL-secure 群。

公钥加密（(Public key cryptography）： 对于私钥 sk ∈ Z_r ，相应的公钥为 pk ∈ g^{sk} 。由于离散对数问题被认为是难道，所以不可能从公钥解出私钥，即找到如下问题的解是比较难的：

pk = g^x

The Decisional Diffie–Hellman assumption

The Decisional Diffie–Hellman (DDH)：对于阶为 n，生成器为 g 的有限循环群 G，DDH 是给定三元组 (g^a, g^b, g^c) 后，能够区分 (g^a, g^b, g^{ab}) ，其中 a, b, c ∈ Z_r

假设在群 G 上求解 DDH 不可行，则称群 G 为 DDH-secure 群。

DDH-security 是比 DL-security 强的假设，如果 DDH 不可解，那么 DLP 也不可解，反之不一定成立。

The Computational Diffie–Hellman assumption

The Computational Diffie–Hellman Assumption：G 是阶为 n，生成器为 g 的有限循环群，对于 a, b ∈ Z_r ，如果 g, g^a, g^b 已知，但是 a ，b 未知，则无法计算 g^{ab} 。这种情况下，称 G 为 CDH-secure 群。

CDH 假设弱于 DDH 假设，有的群满足 CDH 但是不满足 DDH，而不存在有的群满足 DDH 但不满足 CDH。

1.5 哈希到群 Hashing to Groups

哈希函数

哈希函数是将任意长度的二进制串 left{0, 1 right}^* 映射到长度为 k 的二进制串 left{0, 1 right}^k ：

H: left{0, 1right}^* rightarrow left{0, 1right}^k

哈希函数 H 返回的值为像（images），也称哈希值。

密码学函数的性质

  • 抗原像（preimage-resistance）：给定 left{0, 1 right}^k ，无法找到字符串 x ∈ left{0, 1 right}^* 使得 H(x) = y 。
  • 抗碰撞（collision resistance）
  • diffusion：输入中的微小变化会导致输出中的巨大差异

SHA256 是一个密码学安全的哈希函数：SHA256: left{0, 1 right}^* rightarrow left{0, 1right}^{256}

空字符串的 SHA256 值为：

SHA256(<>) = e3b0c44298 f c1c149a f b f 4c8996 f b92427ae41e4649b934ca495991b7852b855

哈希到循环群

哈希到群（hash-to-group）函数是一个确定性映射：SHA256: left{0, 1right}^* rightarrow G

Pedersen Hashes

Pedersen 哈希函数（Pedersen Hash Function）：j 是一个整数，G 是有阶为 n 的限循环群，left{g_1, ..., g_j right} ⊂ G 是一个均匀随机分部的G 的生成器的集合

H_left{g_1, ..., g_j right}:（Z_r)^j rightarrow G: (x_1, ..., x_j) rightarrow prod_{i=1}^jg_i^{x_i}

如果 G 是 DL-secure 的，那么 Pedersen 哈希函数是抗碰撞的。

left{g_1, ..., g_j right} 必须均匀随机分别，任何两个生成器之间不能存在离散对数关系，即必须要避免 g_h = (g_i)^x ，其中 x ∈ Z_n 。

例如，对于 Pedersen’s 哈希函数 H_left{2, 3right}: Z_4 times Z_4 rightarrow Z_5^*; (x, y) rightarrow 2^x · 3^y ，可以算出 H_left{2, 3right}(1, 3) = 2^1 · 3^3 = 2 · 2 = 4

哈希函数如 SHA256(s) 可以和 H_left{2, 3right} 一起定义一个 hash-to-group 函数。将 SHA256(s) 最低的两位插入到 H_left{2, 3right} 以得到 F_5^* 中的元素。如下定义了 hash-to-group 函数

SHA256_H_left{2, 3right}: left{0, 1right} rightarrow Z_5^*; 2^{SHA256(s)_0} · 3^{SHA256(s)_1}

我们知道，SHA256(<>)_0 = 1 ，SHA256(<>)_1 = 0 ，所以 SHA256_H_{2, 3}(<>) = 2^1 · 3^0

Pseudorandom Function Families in DDH-secure groups

G 是一个 DDH-secure 循环群，阶为 n，生成器为 g，left{a_0, a_1, ..., a_kright} ⊂ Z_n^* 是从在模 n 算术可逆的数字中生成的一个均匀随机集合。以种子 left{a_0, a_1, ..., a_kright} 作为参数的 Pseudorandom 函数族为：

F_{left{a_0, a_1, ..., a_kright}}: left{0, 1right}^{k 1} rightarrow G: (b_0, ..., b_k) rightarrow g^{b_0}prod_{i=1}^ka_i^{b_i}

2 交换环 Commutative Rings

大白话

在交换群的基础上，多了一种二元运算。

定义

拥有单元的交换环（commutative rings with unit）(R, , ·, 1) 包含 4 部分

  • 集合 R
  • 两种二元运算 和 ·
  • 新运算单元（unit） 1：新运算存在中立元，即对于所有元素 g，有 1 · g = g

性质：

  • (R, ) 是交换群，中立元是 0
  • 新运算满足交换律
  • 新运算存在中立元 1，即对于所有元素 g，有 1 · g = g
  • 新运算满足结合律
  • 新运算满足分配律

例如，(Z, , ·, 1) 是一个交换环，其中 Z 表示整数集合， 表示加法运算，· 表示乘法运算，1 表示数字 1。

需注意，(Z, ·) 无法构成群，因为整数不存在乘法逆。

原文

多项式环（Ring of Polynomials）：多项式的系数 R 必须一个拥有单元的交换环，因为我们需加法、乘法、可交换和 R 存在一个单元来获得我们所期望的性质。在此基础上，如果 1 是乘法单元，则成该环为系数为R的多项式环（ring of polynomials with coefficients in R）

群生成器指数中的多项式评估（Polynomial evaluation in the exponent of group generators）：在许多零知识协议中，一个关键的是能够将计算编码为多项式，然后通过评估某些密码群的“指数”中的多项式来隐藏该计算的信息。

为了理解上述原理，再来看下指数映射。如果 G 是有限循环群，阶为 n，生成器为 g ∈ G，($Z_n$, , ·) 是以如下方式对应 G 的环：

g^{x y} = g^x · g^y, g^{x·y} = (g^x)^y, x, y ∈ Z_n

设 p ∈ z_n[x] 是一个多项式 p(x) = a_m · x^m a_{m-1}x^{m-1} ... a_1x a_0 ，s ∈ z_n 是一个评估点，那么有：

g^{p(s)} = g^{a_m · x^m a_{m-1}x^{m-1} ... a_1x a_0} = (g^{s^m})^{a_m} · (g^{s^{m-1}})^{a_m} ·...·(g^s)^{a_1} · g^{a_0}

可以在 g 的指数中“秘密”评估点 s 处计算任何度小于 m 的多项式 p，而不需要知道任何关于 s 的知识。假设 G 是 DL-group，只要给定 left{g, g^s, ...,g^{s^m} right} ，但是不需要给定 s，就可以算出 g^{p(s)} ，但不会算出 s。

例如，对于如下指数映射

3^{(·)}: Z_4 rightarrow Z_5^*, xrightarrow 3^x

从 z_4[x] 中选出多项式 p(x) = 2x^2 3x 1 ，先在 s = 2 处评估多项式，然后将结果写到指数：

3^{p(2)} = 3^{2·2^2 3·2 1} = 3^{2·0 2 1} = 3^3 = 2

结果是 2，但是不会获得关于 s 的任何知识。

2.1 哈希到模代数 Hashing into Modular Arithmetic

n 是模数，k = |n| 是 n 的宽度，那么每个长度为 k - 1 的二进制数字 z = <b_0, b_1, ..., b_{k-2}> 的范围为 0 le z le 2^{k-1} - 1 < n，所以 z 属于 Z_n， H: left{0, 1 right}^* rightarrow left{0, 1 right}^{k-1} 是哈希到环的哈希函数：

H_{|n|_2-1}: left{0, 1 right}^* rightarrow Z_r : s rightarrow H(s)_0 · 2^0 H(s)_1 · 2^1 . . . H(s)_{k−2} · 2^{k−2}

|n|_2 表示 n 的二进制宽度。该哈希函数的缺点是哈希值在 Z_n 上的分布不一定是均匀的。如果 n > 2^{k-1}，则 H_{|n|_2 - 1} 不会哈希到 z ge 2^{k-1}。所以 n 应该要非常接近于 2^{k-1} 才能确保分布均匀。该哈希函数的优点是抗原像和抗碰撞。

另一个被广泛使用的哈希到 Z_n 的方法是：|n|_2 = k_1，k_2 ge k_1，有 H: left{0, 1 right}^* rightarrow left{0, 1 right}^{k_2} ，构造如下：

H_{mod_n}' : left{0, 1 right}^* rightarrow Z_n : s rightarrow (H(s)_0 · 2^0 H(s)_1 · 2^1 ... H(s)_{k_2} · 2^{k_2}) space mod space n

该哈希函数的缺点是计算量大，在 Z_n 上的分布可能不均匀，取决于 2^{k_2 1} mod n。优点是抗原像和抗碰撞。

The “try-and-increment” method

第 3 种是 “try-and-increment” 方法。定义 z ∈ Z，对于任何 H(s) 有：

z = H(s)_0 · 2^0 H(s)_1 · 2^1 ... H(s)_{k_2} · 2^{k}

为了映射到 Z_n，先计算 z，然后看是否 z ∈ Z_n，如果是，则哈希结束；否则，修改字符串 s，然后再次计算 z，直到 z ∈ Z_n。一种修改 s 的方式是，将 s 和一个 bit 计数器拼接。算法如下：

如果 k 足够大，且 n 接近于 2^{k 1}，则 z < n 的概率较大，则循环基本只需要执行 1 次

3 域 Fields

大白话

在交换环的基础上，元素拥有乘法逆，即第二种运算和集合可以构成群。

定义

域 (F, , ·) 包含三部分：

  • 集合 F
  • 两种二元运算 和 ·

性质：

  • (F, ) 是交换群，中立元是 0
  • (F - {0}, ·) 是交换群，中立元是 1
  • 满足分配律：g1 · (g2 g3) = g1 · g2 g1 · g3

原文

域 F 的特征（characteristic）表示为 char(F)，是最小自然数 n ≥ 1，乘法中立元 1 的 n 次叠加结果等于零，即 sum_{i=1}^n1 = 0 。如果 n > 0 存在，则称域拥有一个有限特征（finite characteristic）。如果每个 1 的有限和都不等于 0，则称域有特征 0。

例如，(Q, , ·) 是一个域，Q 表示实数集合， 表示加法运算，· 表示乘法运算。除 0 外，每个实数都拥有乘法逆。因为不存在自然数 n ∈ N 使得 sum_{j=0}^n1 = 0 位于实数集合中，所以域 Q 的特征是 char(Q) = 0

素数域 Preime Fields

如果模是一个素数，余数类 Z_n 不仅是环，还是域。由于 sum_{j=0}^n1 = 0 位于 Z_n 中，所以域拥有有限特征 n。

素数域：(Z_p, , ·) 是一个模 p 运算上的域，p ∈ P 是一个素数，我们称该域为素数域，特征为 p。为了区分，(Z_p, , ·) 表示为 (F_p, , ·) 。

素数域上，x 的加法逆是 -x = p - x mod p，x != 0 时，乘法逆为 x^{-1} = x^{p-2} 。

最小的域是 $F_2$，特征为 2，它是个素数域。

3.1 平方根 Square Roots

在素数域中，一个拥有平方根 x 的元素 y 称为二次剩余（quadratic residue），x 为平方根（square root），一个没有平方根的元素称为二次无剩余（quadratic non-residue）。只有平方数可以位于椭圆曲线上。

对于 x ∈ F_p ，如果 y != 0，则有两个根 sqrt y = left{x, p-xright} 。前一个为正平方根（positive square root），后一个为负平方根（negative square root）。F_p 中有 (p 1) / 2 个 quadratic residue，(p - 1) / 2 个 quadratic non-residue。

Legendre symbol

y ∈ F_p

例如对于 F_5 ，有

frac{0}{5} = 0, frac{1}{5} = 1, frac{2}{5} = -1, frac{3}{5} = -1, frac{4}{5} = 1

欧拉标准（Euler criterion）提供了一种计算 Legendre symbol 的方法。对于奇素数 p ∈ P_{>=3} 和 y ∈ F_p ，Legendre symbol 用如下方式计算：

(frac{y}{p}) = y^{frac{p-1}{2}}

3.2 素数域扩展 Prime Field Extension

给定素数 p ∈ P，自然数 m ∈ N，度为 m 的不可约多项式 P ∈F_p[x] ，其系数选自素数域 F_p ，一个素数域扩展 (F_{p^m}, , ·) 定义如下。

F_{p^m} 是度小于 m 的所有多项式集合：

F_{p^m} = left{a_{m-1}x^{m-1} a_{m-2}x^{m-2} ... a_1x a_0 | a_i ∈ F_pright}

F_{p^m} 的特征是 p，有 sum_{j=0}^p1 = 0 。F_{p^m} 的阶是 p^m ，因为 F_{p^m} 的每个元素都是度小于 m 的多项式，每个系数都有 p 种选择。当将 F_{p^m} 中的每个元素的度都限制为 0 时， F_{p^m} 就是 F_p ，所以 F_p 是 F_{p^m} 的子域（subfield）。

F_{p^m} 的构建依赖于不可约多项式的选择，但对于 P 的不同选择，F_{p^m} 是同构的，即不同的 F_{p^m} 之间拥有一一映射关系。从实现的角度，应该挑选易于计算的 P。

类似于素数域 F_P 是整数环中的整数除以一个素数 p 后的余数集合，素数域扩展 F_{p^m} 是 F_p[x] 环中的多项式 F_p[x] 除以一个度为 m 都不可约多项式后的余数多项式集合。

如果 m_1 整除 m_2 ，那么 F_{p^{m_2}} 是 F_{p^{m_1}} 的扩展域。

例如，F_{2^3} 中的元素有：

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[0,0,0]: 0       [0,0,1]: x2 
[1,0,0]: 1       [1,0,1]: x2   1
[0,1,0]: x       [0,1,1]: x2   x
[1,1,0]: x   1   [1,1,1]: x2   x   1

3.3 射影平面 Projective Planes

射影平面通过包含无穷点而扩展了普通 Euclidean 平面的概念。例如，在射影平中，平行线交于无穷点处。

F 是域，射影平面 FP^2 由形如 [X : Y : Z] 的点构成, 其中 (X, Y, Z) ∈ F^3 是不全为 0 的元素：

FP^2 := left{[X : Y : Z] space | space (X,Y, Z) ∈ F^3 space with space (X,Y, Z) ne (0, 0, 0) right}

并且，对任何非零的 k ∈ F^*，规定 [kX : kY: kZ] = [X : Y : Z]（对于有限域 F_p，kX 是指 kX mod p ）

有限域 F_{p^m} 上的投影面中的元素个数为 p^{2m} p^m 1。

将所有形如 [X : Y : 1] 的点称为仿射点，而将形如 [X : Y : 0] 的点称为无穷远点；这些无穷远点构成一条射影直线 [1 : 0 : 0]，也就是无穷远线。

参考

The MoonMath Manual 第 4 章

https://coders-errand.com/zk-snarks-and-their-algebraic-structure-part-4/

密码学

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