OFDM原理及MATLAB仿真

2023-10-20 14:20:12 浏览数 (2)

前言

本文讲解了 OFDM 相关概念及原理,并通过 MATLAB 仿真模拟一个 OFDM 时域及频域波形图。


一、OFDM 总体概述

1、OFDM 概述

OFDM(Orthogonal Frequency Division Multiplexing)即正交频分复用技术,是一种特殊的多载波传输方案,它可以被看作是一种调制技术,也可以被当作一种复用技术。简而言之就是用多个相互正交的子载波搭载信息进行传输。

下面对正交频分复用字面意思进行理解:

  • 正交:可区分
  • 频分:多个载波
  • 复用:频率可重复使用

为了形象的理解,下面以 OFDM 频谱图进行讲解

图中每一种颜色的“小山包”都是代表一个子载波,图中有 6 个子载波

①、那么如何体现出的正交呢?也就是上面提出的可区分 答:其中一个子载波的中心频率是其他子载波的信号的零点,也就是说在每一个子载波中心频率处,当前子载波的具有巨大的信号强度,可以检测到最大的能量,其他子载波信号强度都为 0,检测到的能量为 0,如此达到了可区分的目的,即为正交。

②、如何体现出了频分呢?也就是上面说的多个载波 答:图中不仅一个子载波,具有 6 个子载波,每个子载波的中心频率不同,达到了一个频分的目的,即为频分

③、如何体现出了复用呢?也就是上面说的频率可重复使用 答:从图中前两个子载波可以看到它们在频率上有重叠的部分,也就是达到了频率可重复使用的目的,即为复用

2、OFDM 优点

早期发展的无线网络或移动通信系统,是使用单载波调制(Single-carrier Modulation)技术,单载波调制是将要传送的信号(语音或数据),隐藏在一个载波上,再藉由天线传送出去。信号若是隐藏于载波的振幅,则有 AM、ASK 调制系统;信号若是隐藏于载波的频率,则有 FM、FSK 调制系统;信号若是隐藏于载波的相位,则有 PM、PSK 调制系统。

使用单载波调制技术的通讯系统,若要增加传输的速率,所须使用载波的带宽必须更大,即传输的符元时间长度(Symbol Duration)越短,而符元时间的长短会影响抵抗通道延迟的能力。若载波使用较大的带宽传输时,相对的符元时间较短,这样的通讯系统只要受到一点干扰或是噪声较大时,就可能会有较大的误码率(Bit Error Ratio,BER)。

为降低解决以上的问题,因此发展出多载波调制(Multi-carrier Modulation)技术,其概念是将一个较大的带宽切割成一些较小的子通道(Subchannel)来传送信号,即是使用多个子载波(Subcarrier)传来送信号,利用这些较窄的子通道传送时,会使子通道内的每一个子载波的信道频率响应看似平坦,这就是分频多任务(Frequency Division Multiplexing,FDM)观念。

因为带宽是一个有限的资源,若频谱上载波可以重迭使用,那就可以提高频谱效率(Spectrum Efficiency,η),所以有学者提出正交分频多任务(Orthogonal Frequency Division Multiplexing,OFDM)的技术架构。FDM 与 OFDM两者最大的差异,在OFDM 系统架构中每个子信道上的子载波频率是互相正交,所以频谱上虽然重迭,但每个子载波却不受其他的子载波影响。

如上图所示,OFDM 所须的总带宽较小,倘若可以提供的载波总带宽是固定的,则 OFDM 系统架构将可以使用更多的子载波,使得频谱利用效率增加,提高传输量,而能应付高传输量需求的通讯应用。

上面没看明白如何提高了频带利用率?那就继续往下看,这些形象的图一定能让你看明白!!! 常规 FDM,两路信号频谱之间有间隔,互相不干扰,如下图所示

常规 FDM,两路信号频谱之间有间隔,互相不干扰

为了更好的利用系统带宽,子载波的间距可以尽量靠近些。如下图所示

存在潜在干扰的 FDM

继续靠近,近到完全等同于奈奎斯特带宽(后面有详述),使频带的利用率达到了理论上的最大值

OFDM

二、OFDM 基本原理

1、基本思想

OFDM 它的基本思想是在频域内将所给信道分成许多子信道,各个子信道之间保持正交。高速的数据流被分配到多个正交的子信道上进行传输,从而使子信道上的符号速率大幅度降低,单个数据符号的持续时间大大加长,因而具备了较强的抗时延扩展能力,降低了由于高速传输容易引起的符号间干扰(ISI)的影响。通常在 OFDM 符号送入信道前加保护间隔,只要保护间隔大于信道的最大时延扩展,那么理论上就可以完全消除 ISI 的影响,而通常的做法是加入循环前缀(CP),在有的系统中还加入循环后缀(CS),这是 OFDM 系统比较有特色的处理技术,在正交频分复用(OFDM)是多载波调制(MCM)技术的一种。

多载波调制的基本思想是把数据流串并变换为 N 路速率较低的子数据流,用这些子数据流分别去调制 N 路子载波以后,再并行传输。由于子数据流的速率是原来速率的 1/N,也就是说,符号周期扩大为原来的 N 倍,远大于信道的最大延迟扩展,这样,多载波调制就把一个宽带频率选择性信道划分成了 N 个窄带平坦衰落信道,这样均衡比较简单,从而具有很强的抗多径衰落以及抗脉冲干扰的能力,这样特别适合于高速无线数据传输。OFDM 是一种子载波相互混叠的多载波调制,因此它除了具有上述多载波调制的优势外,还具有更高的频谱利用率。OFDM 选择时域相互正交的子载波,它们虽然在频域互相混叠,却仍能在接收端被分离出来。

2、OFDM 调制和解调

OFDM 发射机将信息比特流映射成一个 PSK 或 QAM 符号序列,之后将符号序列转换成 N 个并行符号流,每 N 个经过串/并转换的符号被不同的子载波调制。

频域信号

X[k]

调制频率为

f_k=k/T_{sym}

的子载波,其中载波数量为

N=6

,即

k=0,1,2,...,5

。在接收机,利用子载波的正交性,可以解调这些信号。注意,原来符号

X[k]

的周期为

T_s

,由于串/并转换,通过并行发射

N

个符号,

N

个符号的传输时间扩展为

NT_s

,它是单个 OFDM 符号的持续时间

T_{sym}

,即

T_{sym}=NT_s

。OFDM 符号是 N 个并行符号的复合信号,其周期为 $T_{sym}。

如下图所示,显示了所有子载波间正交性的一种典型实现。在发射机和接收机分别使用 IDFT、IFFT 和 DFT、FFT,可以实现这种多载波调制和解调。

3、OFDM 系统的发射机和接收机框图

OFDM 系统的发射机和接收机框图如下图所示,这里的相关概念就不详细讲解了,如有感兴趣的读者可以阅读《MIMO-OFDM 无线通信技术及 MATLAB 实现》这本书籍,书里面有对相关概念进行了详细的讲解。

三、OFDM 系统数学模型

1、sinc 函数

问:常见于各种教材、论文的 OFDM 频谱图一般是多个 sinc 函数的叠加,那么为什么是 sinc 函数? 答:因为实际 OFDM 信号不可能是无限长的,而有限长的 OFDM 信号实际可以看做与矩形窗函数的乘积

矩形窗函数可以定义如下:

g(t)= begin{cases} 1,0leq|t|leq T \ 0,|t|geq T \ end{cases}

对其进行傅里叶变换:

G(jomega)=int_{-infty}^{infty} {g(t)e^{-jwt}} ,{rm d}t=frac{sin(omega T/2)}{omega/2}

由于时域相乘等效于频域卷积,因此 OFDM 信号反映到频谱,就成为各个不同位置的冲击响应与 sinc 函数的卷积。

对于 OFDM信号,形象点说在时域上是信号的叠加,在频域上是多个子载波并列。

OFDM(正交频分复用)信号的时域表达式可以表示为多个子载波的叠加。假设有 N 个子载波,每个子载波的频域符号为

X[k]

,其中

k

表示子载波的索引(从 0 到 N-1)。

2、OFDM 时域表达式

每个子载波的频域符号经过反快速傅里叶变换(IFFT)得到时域符号

x[n]

,其中 n 表示时域的离散时间点(从 0 到 N-1)。那么 OFDM 信号的时域表达式可以表示为:

x[n] = sum_{k=0}^{N-1} X[k] cdot e^{j2pi nk/N}

3、OFDM 频域表达式

每个子载波的频域符号经过快速傅里叶变换(FFT)得到频域符号

X[k]

,其中 k 表示子载波的索引(从 0 到 N-1)。那么 OFDM 信号的频域表达式可以表示为:

X[k] = frac{1}{N} sum_{n=0}^{N-1} x[n] cdot e^{-j2pi nk/N}

四、OFDM 时域及频域仿真

1、绘制时域及频域波形

①、MATLAB 源码
代码语言:javascript复制
% ======================== 绘制时域波形图=======================
Fs = 1000;                                % 总的采样率
N = 1024;                                % 总的子载波数
T = N / Fs;                              % 信号绘制为一个周期的长度
x = 0 : 1/Fs : T-1/Fs;                   % 生成时间向量,用于绘制波形
Numscr = 4;                              % 绘制的子载波数量
s_data = 1;                              % 初始相位
y = zeros(Numscr, numel(x));             % 初始化存储每个子载波的复数值的矩阵
ini_phase = repmat(s_data, 1, numel(x));  % 生成与时间长度相匹配的初始相位向量
for k = 0 : Numscr-1                      % 循环遍历要绘制的子载波数量
    for n = 0 : numel(x)-1                % 循环遍历时间序列
        y(k 1, n 1) = ini_phase(n 1) * exp(1i * 2 * pi * k * n / N);  % 计算每个时间点上每个子载波的复数值
    end
end
figure(1);
plot(x, real(y));                         % 绘制时域波形
xlabel('时间/s');                          % 设置 X 轴标签为“时间”
ylabel('幅度/V');                          % 设置 Y 轴标签为“幅度”

% ======================== 绘制频域波形图=======================
f = (-Fs/2 : Fs/numel(x) : Fs/2-Fs/numel(x));
y_fft = zeros(Numscr, numel(x));
for k = 1 : Numscr
    y_fft(k, :) = abs(fftshift(fft(y(k,:)))) / N;  % 计算每个子载波的频谱
end
figure(2)
plot(f, y_fft(1,:), f, y_fft(2,:), f, y_fft(3,:), f, y_fft(4,:));
grid on;
xlim([-10, 10]);                          % 将 x 轴范围限制在 -10 到 10 之间
xlabel('频率/Hz');
ylabel('幅度/V');
②、仿真结果分析

OFDM 时域波形图如下:

OFDM 时域波形图

可以验证上面的那句话:“对于 OFDM信号,形象点说在时域上是信号的叠加”。目前的图形是子载波分别绘制出来的结果,还未相加。

OFDM 频谱图如下:

OFDM 频谱图

与理想的 sinc 波形相比甚远,这样肯定不行。若在时域进行补零,如下。

2、优化 OFDM 频谱图第一版本

①、MATLAB 核心源码

补 1024 * 20 个 0:

代码语言:javascript复制
a = 20;
y1 = zeros(Numscr, a * N);
y_combined = horzcat(y, y1);              % 水平拼接两个矩阵
f = (-Fs/2 : Fs/((a 1)*N) : (Fs/2-Fs/((a 1)*N)));
y_fft = zeros(Numscr, (a 1)*N);
for k = 1 : Numscr
    y_fft(k, :) = abs(fftshift(fft(y_combined(k,:)))) / N;  % 计算每个子载波的频谱
end
②、仿真结果分析

优化后的 OFDM 频谱图如下:

一次优化后的 OFDM 频谱图

原因分析:时域尾部补零等效于频域插值,让频谱图形变得圆滑。

虽然图形比较理想,但频谱图小于等于 0 的部分我们没有看到:我们绘制的频谱图幅值都是大于等于 0 的。当然必然是大于等于 0 的,因为我们是取模进行绘制,也是正确的,但是怎么获得这种图:

3、优化 OFDM 频谱图第二版本

要绘制上图的图形,取模肯定是不行的,我们可以尝试取实部

①、MATLAB 核心源码
代码语言:javascript复制
a = 20;
y1 = zeros(Numscr, a * N);
y_combined = horzcat(y, y1);              % 水平拼接两个矩阵
f = (-Fs/2 : Fs/((a 1)*N) : (Fs/2-Fs/((a 1)*N)));
y_fft = zeros(Numscr, (a 1)*N);
for k = 1 : Numscr
    y_fft(k, :) = real(fftshift(fft(y_combined(k,:)))) / N;  % 计算每个子载波的频谱
end
②、仿真结果分析

优化后的 OFDM 频谱图如下:

二次优化后的 OFDM 频谱图

如此,获得了比较接近的频谱图。

五、资源自取

OFDM 时域及频域 MATLAB 仿真


总结

  • 本文首先在 OFDM 总体概述部分对 OFDM 的基本概念进行了介绍,并强调了使用 OFDM 的优点是什么;
  • 其次对 OFDM 的原理进行了基本的介绍,其中包括 OFDM的基本思想、OFDM 调制解调思想、OFDM系统的发射机和接收机组成框图;
  • 然后对 OFDM 的数学模型进行了分析,包括时域及频域;
  • 最后对 OFDM的时域及频域波形进行了 MATLAB 仿真,针对仿真过程中遇到的问题也进行了分析及解决。

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