数据结构与算法 --- 复杂度分析专题（一）

2023-10-22 16:54:20 浏览数 (2)

意义

算法复杂度分析的意义在于评估算法的执行效率，找出最优解决方案，是优化算法和改进程序性能的基础。通过对算法的时间复杂度和空间复杂度进行分析，可以帮助我们预估该算法运行所需的资源，从而提高程序的性能。

大O复杂度表示法

例1

有如下代码

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public int Calculate(int n)
{
    int sum = 0;
    for (int i = 0; i < n; i  )
    {
        sum  = i;
    }
    return sum;
}

上述代码段中，假设每条语句执行的时间一样，为1个单位，记为

1u

。那么在上述代码片段中：

  • 第3、8行执行分别需要1
u
  • 第4、5、6、7行代码循环执行了
n

次，那么就需要

4n

个

1u
  • 总的执行时间为
T(n)=4n 2

个

1u

。

我们借助在线函数绘图工具画出该函数的曲线如下：

我们可以看出一个规律：执行时间一定为正数，所以代码执行的总时间((

4n 2

)X

1u

)是和语句的执行次数(

4n 2

)成正比的。

例2

代码语言：javascript复制
public int Calculate(int n)
{
     int sum = 0;
     for (int i = 0; i < n; i  )
     {
         for (int j = 0; j < n; j  )
         {
             sum  = i;
         }
     }
     return sum;
}

同上，假设每条语句执行的时间一样，为1个单位，记为

1u

。那么在上述代码片段中：

  • 第3、11行分别需要
1u
  • 第4、5、10行分别循环执行了
n

次，即执行需

3n

个

1u
  • 第6，7，8，9分别执行了
n^2

次，即执行需

4n^2

个

1u
  • 总的执行时间为
t(n)=4n^2 3n 2

个

1u

画出该函数的曲线如下：

由上边两段推导代码执行时间的过程，可以得到一个重要规律：一段代码的执行时间

T(n)

与每一条语句的总执行次数（累加数）成正比，可以把这个规律总结为一个公式，如下：

T(n)=O(f(n))

其中，表示代码执行的总时间，

n

表示数据规模，

f(n)

表示每条语句执行次数的累加和，这个值与

n

有关，因此用

f(n)

这样一个表达式来表示，公式中的

O

符号，表示代码的执行时间

T(n)

与

f(n)

成正比。

实际上，「大

O

时间复杂度并不具体表示代码真正执行的时间，而是表示代码执行时间随着数据规模增大的变化趋势，因此，也称为渐近时间复杂度（asymptomatic time complexity）,简称时间复杂度。」

当

n

很大时，100000，1000000级别时，公式中的低阶，常量，系数3部分并不左右增长趋势，例如下面的曲线：

T(n)=4n 2

曲线：

t(n)=4n^2 3n 2

曲线，该曲线即使只到十位数的数量级，曲线就已经趋向于笔直的竖线：

所以低阶，常量，系数3部分可以忽略。我们只需要记录一个最大量级。如果用大

O

表示法表示上面的两个复杂的则是这样：

T(n)=O(n)
T(n)=O(n^2)

时间复杂度的分析方法

大O复杂度表示方法只表示一种变化趋势，我们通常会忽略公式中的常量，低阶和系数，只记录最大量级，因此，我们在分析一段代码时间复杂度的时候，我们也只需要关注「循环执行次数最多的那段代码」。

加法法则

「加法法则：代码的总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度。」

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有如下代码片段，分析一下它的时间复杂度：
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public int Calculate(int n)
{
    //第一段  
    int sum1 = 0;
    for (int i = 0; i < 100; i  )
    {
        sum1  = i;
    }
    
    //第二段 
    int sum2 = 0;
    for (int i = 0; i < n; i  )
    {
        sum2  = i;
    }
    
    //第三段
    int sum3 = 0;
    for (int i = 0; i < n; i  )
    {
        for (int j = 0; j < n; j  )
        {
            sum3  = i;
        }
    }
    
    //第四段
    return sum1  sum2  sum3;
}

分析结果：

  • 第一段，执行时间固定为常数，复杂度记为
O(1)

。

  • 第二段，复杂度为
O(n)

。

  • 第三段，复杂度为
O(n^2)

。

  • 第四段，只执行一次，复杂度记为
O(1)

。

「为什么第一段复杂度为常数？」

注意大O复杂度的概念，时间复杂度表示的是代码执行时间随数据规模（

n

）的增长趋势，第一段代码中，无论

n

如何变化，它始终执行100次。在曲线图上画出来就是一条平行于X轴的直线，并不会体现出增长趋势。

加法法则定义代码的总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度，用公式表达则是

如果有

T_1(n)=O(f(n));T_2(n)=O(g(n));

那么

T_总(n)=T_1(n) T_2(n)=max(O(f(n)),O(g(n)))=O(max(f(n),g(n)));

所以结论就是Calculate方法的时间复杂度为

O(n^2)

。

乘法法则

「乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积」。

有如下代码片段，计算CalculateA方法的时间复杂度：

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public int CalculateA(int n)
{

    int sum = 0;
    
    for (int i = 1; i <= n; i  )
    {
        sum  = CalculateB(n);

    }
    return sum;
}

public int CalculateB(int n)
{

    int sum = 0;
    
    for (int i = 1; i <= n; i  )
    {
        sum  = i;
    }
    return sum;
}

分析结果：

  • CalculateA方法的时间复杂度为
O(n)

。

  • CalculateB方法的时间复杂度为
O(n)

。

乘法法则定义嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积，用公式表达则是

如果有

T_1(n)=O(f(n));T_2(n)=O(g(n));

那么

T_总(n)=T_1(n) × T_2(n)=O(f(n))×O(g(n))=O(f(n)×g(n));

所以结论就是CalculateA的时间复杂度为

O(n×n)

=

O(n^2)

常见的时间复杂度量级

常量级

只要代码的执行时间不随数据规模

n

变化，代码就是常量级时间复杂度，统一记作

O(1)

。

需要注意的是：

O(1)

是常量级时间复杂度的一种表示方法，并不意味着只执行了一行代码。

对数阶

对数阶时间复杂度非常常见，但它是最难分析的时间复杂度之一。

有如下代码段：

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public int Calculate(int n)
{
    int i = 1;
    while (i <= n)
    {
        i *= 2;
    }
    return i;
}

如果想要分析该方法的时间复杂度，那就需要看执行次数最多的语句，一共执行多少次？

由上述代码中可以看出，变量i从1开始取值，每循环一次就乘以2，当i值大于n时，循环结束。写成公式则是这样：

1×2×2×2×2×2×...×2leqslant n

我们简化一下就是这样：

1×2^x =n

所以得出解为：x的值为以2为底，n的对数

x=log_2n

所以上文Calculate方法的时间复杂度为

O(log_2n)

那如果我们把上述代码段中的i *= 2 修改为i *= 3，得到的时间复杂度就变成了

O(log_3n)

那为什么标题中的表示的时间复杂不体现对数的底数呢？

因为根据对数的换底公式，

log_3n=log_32×log_2n

因此

O(log_3n)=O(C×log_2n)

其中

C=log_32

是一个常量，采用大O复杂度表示法的时候，忽略系数，即

O(C×f(n))=O(f(n))

因此，

O(log_3n)=O(log_2n)

所以对于对数阶时间复杂度，忽略对数的底数，统一表示为

O(logn)

。

多数据规模

这是一种特殊情况，时间复杂度由多个数据规模来决定。

有如下代码：

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public int CalculateA(int m, int n)
{
    int sum = 0;

    for (int i = 1; i <= m; i  )
    {
        sum  = i;
    }

    for (int i = 1; i <= n; i  )
    {
        sum  = i;
    }

    return sum;
}

public int CalculateB(int m, int n)
{
    int sum = 0;

    for (int i = 1; i <= m; i  )
    {
        for (int j = 1; j <= n; j  )
        {
            sum  = i;
        }

    }

    return sum;
}

上述代码中，m,n表示两个无关的数据规模，最终代码的复杂度跟这两者都有关系，对于这两者无法事先评估谁的量级更大，所以在表达时间复杂度时都不可以省略，因此，上述代码中

  • CalculateA符合加法法则，m，n不可省略，则得到的时间复杂度为
O(m n)
  • CalculateB符合乘法法则，m，n不可省略，则得到的时间复杂度为
O(mn)

空间复杂度

时间复杂度全称渐近时间复杂度，表示算法的执行时间于数据规模之间的增长关系，类比一下就能得到空间复杂度定义：

「空间复杂度全称渐近空间复杂度，表示为算法的存储空间与数据规模之间的增长关系」。

其分析规则与时间复杂度一致，类比学习即可。常见的空间复杂度有

O(1)

，

O(logn)

，

O(n)

，

O(nlogn)

，

O(n^2)

等。其中

O(logn)

，

O(nlogn)

对数阶复杂度常见于递归代码。

❝参考资料 [1] 数据结构与算法之美 / 王争 著. --北京：人民邮电出版社，2021.6 [2] 大话数据结构 / 程杰 著. --北京：清华大学出版社，2011.6 [3] 在线函数绘图工具 - https://www.desmos.com/calculator ❞

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