太难了，有人问了一道刚做的算法题。。。

2023-10-24 19:47:44 浏览数 (1)

大家好，我是吴师兄。

最近在 LeetCode 的讨论区发现好多同学在求助，因为他们遇到了一些真题，不知道如何处理。

比如一道和堆相关的真题。

很多同学做了几百道 LeetCode ，第一次接触真题都会有点懵的，所以得刻意练习，特别是一些 hard 真题，比如下面这一道，非常有难度，也是前不久有学员问的题目。

题目描述

给定一个二维整数矩阵，要在这个矩阵中。选出一个子矩阵，使得这个子矩阵内所有的数字和尽量大

我们把这个子矩阵称为 “和最大子矩阵”，子矩阵的选取原则，是原矩阵中一段相互连续的矩形区域

输入描述

输入的第一行包含两个整数N,M

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(1 <= N,M <= 10)

表示一个 N 行 M 列的矩阵

下面有N行 每行有M个整数

同一行中每两个数字之间有一个空格

最后一个数字后面没有空格

所有的数字得在-1000 ~ 1000之间

输出描述

输出一行，一个数字。表示选出的“和最大子矩阵”内所有数字的和

示例

输入
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3 4
-3 5 -1 5
2 4 -2 4
-1 3 -1 3
输出
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20
说明

一个3*4的矩阵中 后面3列的和为20，和最大

解题思路

如何表示一个子矩阵

一个子矩阵可以由四个参数决定，分别为上底、下底、左宽、右宽，分别用变量a、b、c、d表示的话，如下图中灰色区域为通过四个参数所确定的矩形。

如果我们想要枚举所有子矩阵，只需要分别枚举a、b、c、d，写一个4层嵌套的for循环即可。

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for a in range(n):
     for b in range(a, n):
         for c in range(m):
             for d in range(c, m):
                pass

暴力解法

暴力解法是很容易想到的，我们只需要枚举所有的子矩阵，然后对每一个子矩阵进行矩阵内所有元素求和即可。其核心代码为

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for a in range(n):
     for b in range(a, n):
         for c in range(m):
             for d in range(c, m):
                 submat_sum = 0
                 for i in range(a, b 1):
                     for j in range(c, d 1):
                         submat_sum  = mat[i][j]
                 ans = max(submat_sum, ans)

注意到会出现6层for循环嵌套，时间复杂度为

O(n^3m^3)

。由于数据范围为(1 <= n, m <= 10)，故取最大值时复杂度约为

O(10^6)

，无法通过全部用例，故应该思考如何优化。

二维前缀和优化

注意，该方法和LeetCode 304、二维区域和检索 - 矩阵不可变 是类似的。

注意到每一个子矩阵的计算都可以用以下方式进行拆解。

拆解后的四个区域具有一个共同的特点：它们的上底均为上边界、左宽均为左边界。

因此需要考虑类似一维前缀和的方法，将所有的上底为上边界、左宽为左边界（即a = 0，c = 0）的子矩阵的和提前记录在二维前缀和矩阵pre_sum_mat中。

pre_sum_mat是一个大小为(n 1)*(m 1)的矩阵，pre_sum_mat[i][j]表示以第0行、第0列为开头（去得到的开区间），第i行、第j列为结尾（取不到的闭区间）的子矩阵的和。

上述的四个区域的和，就可以分别使用pre_sum_mat[b 1][d 1]，pre_sum_mat[b 1][c]，pre_sum_mat[a][d 1]，pre_sum_mat[a][c]来表示了。

这里对开/闭区间的理解是非常重要的，如果想不清楚的话，后面的代码很容易出错。如果把子矩阵用一种类似切片的方法表示（并不严谨的写法）为mat[a:b 1][c:d 1]。那么上述的分析过程可以写为

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sum(mat[a:b 1][c:d 1])
= sum(mat[:b 1][:d 1])   sum(mat[:a][:c]) - sum(mat[:b 1][:c]) - sum(mat[:a][:d 1])

= pre_sum_mat[b 1][d 1] pre_sum_mat[a][c] - pre_sum_mat[b 1][c] - pre_sum_mat[a][d 1]

那么，在原矩阵mat中，分别以a、b、c、d为上底、下底、左宽、右宽的子矩阵的和，就可以记为

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submat_sum = (pre_sum_mat[b 1][d 1]   pre_sum_mat[a][c] -
              pre_sum_mat[b 1][c] - pre_sum_mat[a][d 1])

上述计算的时间复杂度为O(1)，因此这种做法规避了暴力解对子矩阵求和时出现的反复计算，降低了最内层求和时时间复杂度。如果把外部的循环体加上，代码为

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for a in range(n):
    for b in range(a, n):
        for c in range(m):
            for d in range(c, m):
                submat_sum = pre_sum_mat[b 1][d 1]   pre_sum_mat[a][c] - 
                             pre_sum_mat[b 1][c] - pre_sum_mat[a][d 1]
                ans = max(submat_sum, ans)

如果不想让最内层的索引出现 1，则可以修改for循环的范围，代码变为

代码语言：javascript复制
for a in range(n):
    for b in range(a 1, n 1):
        for c in range(m):
            for d in range(c 1, m 1):
                submat_sum = pre_sum_mat[b][d]   pre_sum_mat[a][c] - 
                             pre_sum_mat[b][c] - pre_sum_mat[a][d]
                ans = max(submat_sum, ans)

上述过程的时间复杂度为

O(n^2m^2)

。当n、m取最大值时复杂度约为

O(10^4)

，可以通过全部用例。

二维前缀和矩阵的构建

二维前缀和矩阵pre_sum_mat的构建也要用到类似上述的拆分过程，其核心代码如下

代码语言：javascript复制
pre_sum_mat = [[0] * (m 1) for _ in range(n 1)]
for i in range(1, n 1):
    for j in range(1, m 1):
        pre_sum_mat[i][j] = pre_sum_mat[i-1][j]   pre_sum_mat[i][j-1] - 
                            pre_sum_mat[i-1][j-1]   mat[i-1][j-1]

要特别注意二维前缀和pre_sum_mat的大小，在两个维度上均比原矩阵矩阵mat大1。

该过程的时间复杂度为

O(nm)

。

代码

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from math import inf


n, m = map(int, input().split())
mat = list()
for _ in range(n):
    row = list(map(int, input().split()))
    mat.append(row)

# 构建二维前缀和数组
pre_sum_mat = [[0] * (m 1) for _ in range(n 1)]
for i in range(1, n 1):
    for j in range(1, m 1):
        pre_sum_mat[i][j] = pre_sum_mat[i-1][j]   pre_sum_mat[i][j-1] - 
                            pre_sum_mat[i-1][j-1]   mat[i-1][j-1]

# 初始化答案为负无穷小
ans = -inf

# 枚举上底a
for a in range(n):
    # 枚举下底b
    for b in range(a, n):
        # 枚举左宽c
        for c in range(m):
            # 枚举右宽d
            for d in range(c, m):
                # 此时四个参数能够表示一个子矩阵
                # 根据式子计算子矩阵和，更新ans
                submat_sum = pre_sum_mat[b 1][d 1]   pre_sum_mat[a][c] - 
                             pre_sum_mat[b 1][c] - pre_sum_mat[a][d 1]
                ans = max(submat_sum, ans)

print(ans)

时空复杂度

时间复杂度：

O(n^2m^2)

空间复杂度：

O(nm)

二维前缀和矩阵所占空间。

range sum 数组 算法 优化

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