【导语】Diffusion Models 是近期人工智能领域最火的方向，也衍生了很多实用的技术。最近开始整理了几篇相关的经典论文，加上一些自己的理解和公式推导，分享出来和大家一起学习，欢迎讨论：702864842(QQ)，https://github.com/Huangdebo。这是本系列第 2 篇：《DENOISING DIFFUSION IMPLICIT MODELS》
- 【导语】Diffusion Models 是近期人工智能领域最火的方向，也衍生了很多实用的技术。最近开始整理了几篇相关的经典论文，加上一些自己的理解和公式推导，分享出来和大家一起学习，欢迎讨论：702864842(QQ)，https://github.com/Huangdebo。这是本系列第 2 篇：《DENOISING DIFFUSION IMPLICIT MODELS》
1、摘要
DDMP 中把正向扩散和逆扩散以及生成（采样）过程都看成是一个马尔科夫链，每一步扩散都与上一步产生的数据有关。因为是在近似拟扩散过程，所以每一步的扩散率必须要取值很小，故扩散步数取值必须要大（比如T=1000），而导致模型执行耗时过大。DDIM则通过观察优化目标中的特性，在满足和DDPM 同样的边缘分布下，提出了非马尔科夫过程来进行生成（采样），从而大幅度加速了模型，并且还具有生成一致性。
2、背景
对于一个数据的分布 q(x0)，我们希望容易地学到一个能近似 q(x0) 的模型 p(x0)。在DDPM中，把这个模型（采样生成过程）设计成一个一个马尔科夫链：
模型的优化目标是对数似然函数：
在模型的学习中，DDPM 的正向扩散过程也就是高斯核的马尔科夫过程，学习的过程其实就是在拟合拟扩散过程：
可以推导出：
经过简化之后，优化目标转化成：
3、非马尔科夫变分推理过程
虽然 DDPM 的马尔科夫生成过程可以得到高质量的图像，但因为 DDPM 把生成过程也看成是一个马尔科夫链，所以需要重新几百上千个步骤才能生成一张图像，耗时很大。作者观察到学习目标 L 只与边缘分布 q(xt|x0) 有关，而不是直接和联合分布 q(x1:T|x0)有关，想到也许有很多形式的联合分布能够满足 q(xt|x0) ，这样的话，推理过程就不一定需要时马尔科夫链了：
3.1 非马尔科夫过程
作者假设符合上述的边缘分布的过程是很多种可能的联合分布，也就是使用不同的 σ ：
最关键的地方是作者把逆扩散的过程设计为：
这个逆过程和 DDPM 中的不一样，但一样满足 （6）和（6.1)，这个很重要，说明（7）假设对应的正常扩散过程中每个xt 都和 DDPM 中的一样，所以前传过程一致，这样便满足所有的模型假设，也可以使用 DDPM 与训练好的模型。 根据贝叶斯公式，前传过程（因为每一步的结果都不仅仅是依赖前一步的结果，所以不能再看成是之前所定义的扩散过程）可以得出：
一般情况下，逆扩散和正扩散的每一步都是带有随机性的（因为会添加一点随机噪声来控制方差，式子（7）），所以σ 可以看成是逆扩散过程的随机性，当 σ->0 时，则在只观察 xt 和 x0的时候，xt-1便是确定的了（在DDPM 中，每一步的 σ 的值是固定的，DDIM 则先假设是一系列可能的值）。
3.2 产生过程（采样过程）
模型训练目的就是为了得到一个能拟合你过程的一个生成过程 p(x0:T)。首先，可以利用式子（4）可以换算出一个伪 x0 ，使用预测的噪声和xt 来直接计算的准x0，并不是最终的x0，这里使用 fθ(xt) 来表示，然后也可以直接定了生成过程：
DDIM的优化目标为：
根据式子（5）中Lγ的表达式和 Jσ的定义，可推导出（文章附页）：
从Jσ 的表达式中可以看出，如果直接进行优化，需要计算所有 σ 可能取值的情况，这就导致不可计算或者计算量巨大。观察Lγ，发现如果模型权重在训练时不是在所有步骤中共享的，则每次都是对单个步骤（each term）进行最大化，这样优化求解就不依赖权重 γ了。 那么 DDIM 自然也可以参考 DDPM 中的优化目标，也把 Lγ 简化成 L1，也就是式子 （5）中系数 γ=1。
4、生成过程
由于优化目标和 DDPM 一致，同样都满足边缘分布 q(xt|x0) ，所以 DDIM 可以直接使用 DDPM 训练好的模型，而更多地去关注生成过程。希望通过选择合适的 σ，而找出更加高效的非马尔科夫生成过程。
4.1 隐性模型的去噪扩散
根据式子（10）和（7），可以得到：
当 σt 满足某个情况时便就是 DDPM的马尔科夫逆扩散过程。如果让 σt=0，生成过程便成了一个确定的过程（这也是 DDIM 可以稳定输出的原因，给定一个xt，则每次都可以生成同样的 x0）。
4.2 加速生成过程
在DDPM扩散模型中，生成过程就是在近似逆扩散的过程。因为扩散过程是T步逐步扩散的，所以一般生成过程也是T步。但仔细从 L1（式子35，γ=1） 的表达式来看，优化目标（式子35）中依赖了 xt，也就是只依赖了边缘分布 q(xt|x0)，而不是整个逆扩散过程的联合分布 q(x1:T|x0），所以换个想法，那只要在满足边缘分布的情况下（式子 6.1)，那么其实生成过程并不一定非要是T步的马尔科夫过程。于是可以使用一种跳跃式的生成过程来近似逆扩散。
从[1,T] 中挑出一个子集，而且边缘分布也满足（式子 6.1)，这样便可以大幅度加速了生成过程（式子（12）中 的 σ=0）：
4.3 与 DDPM 对比
在DDPM 生成过程中，每一步都会添加一个随机噪声，这个噪声的方差是（参考 DDPM 中的 3.2）：
在 DDIM 中，直接取消随机噪声，也就是 σ=0。但作者还是使用了一个超参数 η（eta）来调节 σ，与 DDPM 进行比对
η 表示 DDIM（不同取值）；σ 表示 DDPM。表明在生成过程中，采用步数比较少的时候， DDIM 比 DDMP 更好，而且在 DDIM 中，η 取值越小越好
5、总结
虽然DDPM 能生成高质量的图像，但因为其生成过程是在近似拟扩散了逆扩散过程，在满足同过程，所以每一步的扩散率必须要取值很小，故扩散步数取值必须要大（比如T=1000），而导致模型执行耗时过大。DDIM则使用非马尔科夫过程来进行生成（采样），从而大幅度加速了模型。并且 DDIM 具有生成一致性，在初始的噪声等信息相同时，生成的图像便在高层特征是也基本一致。
