在一元积分理论中，积分中值定理包括积分第一中值定理和积分第二中值定理.它们都是微积分学中的基本定理，本文介绍相关内容。
极值定理
极值定理也叫最大最小值定理，它的含义非常直观：如果函数 f(x) 在区间 [a,b] 上连续的函数，必然存在最大值和最小值，并且取到最大值和最小值至少一次。
的最小值和最大值，那么根据极值定理，可以得到以下式子成立：
上图当中灰色阴影部分就是定积分的结果，蓝色的矩形面积是 m(b-a) ，大的矩形面积是 M(b-a) 。
由于m和M分别是最小值和最大值，所以我们可以得到
第一积分中值定理
定义：
证明
，可以得到：
它的值位于函数在区间的最大值和最小值之间。根据连续函数的介值定理，我们一定可以在 这点的取值与这个数值相等，也就是说：
上面这个式子就是积分中值定理了，这里有两点要注意:
- 函数必须是一个连续函数，否则的话，可能刚好函数在 xi 点处没有定义。这个也是定理成立的先决条件。
- 连续函数的介值定理，它的含义是说对于一个在区间 [a, b] 上连续的函数，对于任一在其最大值和最小值之间的常数，我们必然可以在区间 [a, b] 上找到一点，使得该点的函数值等于这个常数。
也可以写成：
也就是说以 alpha f(xi) 为高的矩形面积和函数围成的曲形面积相等，所以它既是矩形的高，也是函数在 [a, b] 上的平均值。
第一积分中值定理的推广
，使得
证明
由于 g(x) 连续不变符号，不妨设 g(x) ge 0
，则有：
根据连续函数的介值定理，我们一定可以在 这点的取值与这个数值相等：
第二积分中值定理
各种形式的积分第二中值定理叙述如下：
- 设函数 f(x) 与 g(x) 在 [a，b] 上可积
- 函数 f(x) 在 [a，b] 上单调增加且非负，则存在 xi in[a, b] ，使 int_{a}^{b} f(x) g(x) d x=f(b) int_{xi}^{b} g(x) d x .
- 函数 f(x) 在 [a，b] 上单调增减且非负，则存在 xi in[a, b] ，使 int_{a}^{b} f(x) g(x) d x=f(a) int_{a}^{xi} g(x) d x .
- 函数 f(x) 在 [a，b] 上单调，则存在 xi in[a, b] ，使 int_{a}^{b} f(x) g(x) d x=f(a) int_{a}^{xi} g(x) d x f(b) int_{xi}^{b} g(x) d x .
参考资料
- https://zhuanlan.zhihu.com/p/614978825
- https://baike.baidu.com/item/积分中值定理/538584?fr=ge_ala
- https://zhuanlan.zhihu.com/p/132668736
文章链接：
https://cloud.tencent.com/developer/article/2360339
