就像数学总是走在所有科学的前沿，因为思绪飞扬的速度一定是最快的。那在数学魔术里，我们也可尝试一把用理论来倒推魔术效果的实验。
我都把魔术建模到群论上了，能不能降维打击一下你的观众？
接下来我们介绍两个基于该原理的魔术创作。
4 Kings折纸之龙飞凤舞
数学上无论怎么精进，都是去论证一个已经存在的事实如何正确合理。而作为应用方的魔术，就得想想如何让这个结构以最神奇的方式展现给观众了。数学给了我们思考的可行方向和边界，而想象力才能让你创作出真正的艺术作品。
且看视频：
视频1 4 Kings折纸之龙飞凤舞
如果你比较一下这个作品和之前的《4 Kings折纸》，那一定会感觉之前的作品只能算是个巧合的demo级别。而我设计的这个作品无论是表演自由度，给观众的震撼程度，都远远超过上一个。更为关键的是，它们用到的是几乎一样的原理，前者给人的感觉就是一套固定的流程。无论故事多么精美，还是会自然地想到你是不是提前设置好了扑克牌的位置和朝向以精心设计的这一切。要是观众能自己自由地摆放扑克牌，甚至能洗牌，那就跃过龙门可以算得一个成型的作品了。
我们依旧从原理出发来想问题。从最顶级的群论的观点看，这些牌无非是处在关心正反和位置奇偶性状态的结构中，固定的初始牌叠加上固定的发牌，正反方向设置，确实能得到K的图案，很美。但是怎么才能在上述的C2群中，在发牌的时候就给与群内的自由度呢？
这里我们要把建模的步骤再往前提一步，即牌还处在牌叠状态的时候，和平铺下去的性质的关系。显然，正反属性取决于你要不要翻转它，不翻就保持，而奇偶性的变化，很显然和牌叠内原始的第几张的张数有关系。比如在顺序依次发牌的情况下，牌叠位置依次 1对应牌张位置依次 1，奇偶性自然相互对应。而对于固定的发放方法，比如一排一排走，每排偶数张的情况，发过一排以后，行列都会增加一个奇数，使得其位置奇偶性不变了，接着一排就全部要错位了。不过这丝毫没有影响，只要设置得当，最终状态结果和初始状态是可以一一对应的。
注意这里我们开始关心牌张的发放方法。显然依次发牌，也就是位置按照奇偶依次拿出的过程是公认合理的。那发下去的牌的下一张和前一张之间，要如何才能继承这个奇偶性的变化，以使得原牌叠内位置的奇偶性变成平铺奇偶性呢？那就是也变化一个奇数单位就好了，理论上任何与之相异的奇偶位置（占半个版面）都可以放置。但是魔术师根本不需要用到这么多，这样反而奇怪和暴露秘密了，我们感性地把发放规则改成新发的牌必须与原来牌相邻。这无疑给了观众发牌过程很大的自由度，而且两张牌之间还可以叠起来（完全不用担心，在模型里，平铺下去以后的第几张压根没有进入模型变量）组成厚度不一的任何形状了。而发牌不能改变的朝向就直接继承下来了，这十分合理，因为谁发牌也不会没事就翻过来。这个设计无疑又是把数学原理在魔术需要上用到恰到好处的绝佳案例！
好，解决了发牌自由度的问题，还有个问题，能不能洗牌呢？我们再往前建模，要保证最后4kings朝向不同，则发出去的牌也应该是只有4Kings在一个群内，其余牌另一个的。而现在它们的奇偶相间分布改不了，这毕竟是连续一叠牌，而当相异的奇偶位置的牌处于相反方向的时候，自然就算作一个集合了。我们不妨先等价去想象如何让所有的牌最后都落在同一个群中，再把Kings都反过来就完成了。
而如何把一叠正常朝向的牌变得正反相间呢？完美洗牌啊！而且是翻面一半牌以后再洗的Gilbreath Shuffle，不过这里倒不是用其Gilbreath Principle的性质，而是单单想要得到整叠牌关于位置奇偶性和朝向都在同一个C2群中间的状况而已。所以这里我们丝毫不关心每张牌具体的位置，只要它们满足位置奇偶性和朝向的群的牌张都在同一个集合中。
等等，关心牌叠内位置奇偶性和朝向的群，不恰好就是CATO原理之所以成立而对扑克牌建模的特征内容吗？也就是说，在牌叠的此种相间翻面的状态下，经过任何有CATO不变性的操作后，比如切牌，任意翻转偶数张，奇数张的n切牌等，都可以带来性质的保持！这里又是一步增加洗牌操作的过程，当然，这里还可以混合一些关于数牌和翻转之间的变换特性去编排这个过程，使得其看起来更加的自由和公平。
视频中这个CATO洗牌的做法，是多年经验汇总后留下的做法，综合利用了奇数reverse不变性，偶数翻转任意性（奇数时需要调整1次），还有牌叠关于reverse，count本身的不变性。其目标自然是使得整个过程没有任何数学设计痕迹，还能递进就更好了。
看到了吗，MAT原理中关心的水平位置奇偶性和朝向依次对应于CATO原理中关心的牌叠内位置奇偶性和朝向，二者由发牌操作而相互转化。如果你把一叠中相邻的两张牌发到了奇偶性相同非相邻位置上，这一步发牌都会使得原CATO状态值到接下来的牌发下去的MAT中的状态发生改变。或者说，只要你发牌相邻，那位置奇偶性则直接会从牌叠转化到平铺的牌面上。注意这里由于牌叠起始位置0和1的区别以及平面坐标系原点设置的问题，二者奇偶性一一对应的可能性也有两种。
这时候，再挑战一下思维，你还记得在形成CATO建模的牌叠以保持CATO状态之前，是不关心每张牌的位置这句话吗？啥意思？即在你选出这些牌以后，观众可以随意洗牌！而不能翻面的前提也太容易满足了，因为谁洗牌都是不翻面的！
到这里，整个流程就全部顺下来了，4kings置顶，发牌10张左右喊停（奇数张时候CATO切牌原理需要调整1张），4kings翻转以后观众任意洗牌，Gilbreath Faro Shuffle翻面洗完以后，执行CATO不变的切牌（奇数n切）和翻转（偶数n切加任意翻转），最后是cut and reverse（count and cut不太好，因为有和前面不一致的count操作）操作。然后按照连续发牌相邻的方法任意发牌和形成牌叠，最后再叠起来成一叠，效果就自然显现了。
这里在完美洗牌前，是一个只关心朝向的模型，洗完以后才进入CATO模式关心朝向和位置奇偶性，所以带来的迷惑性就十分大了，不管是外行还是内行，对这个效果而言都是惊人的。
当然这个魔术可以接着前面的《4kings折纸》来变，作为递进的增强版，也可以单独表演，但自由摆放没有了kings的意向，所以这4张牌的集合效果要用什么样的卡片组合，就可以魔术师自我发挥了。
双层4 Kings折纸魔术
在前一个魔术里，我们已经提到了很多关于CATO，count，reverse不变性的操作，这些后续都会出专门的系列来讲，敬请期待。
我为这样令人惊诧的数学魔术进化之旅感到无比兴奋。
如果上面的魔术还不能满足你的胃口，那么接下来这个作品，可谓是MAT原理的巅峰了，甚至除了形式上有点像，原理相通以外，已经完全称得上是CATO的作品了。
它在形式上，甚至可以打破，每次发牌必须要相邻，折叠必须要按纹路的限制，简直就是毫无规律可言！
本篇中，我们只放视频。更多的内容，卖个关子，留到CATO的系列中再详细说明。
视频2 双层4Kings折纸魔术
下个系列见！
