永磁同步电机里的有许许多多的角，矩角、功角、功率因数角、内功率因数角、初始角、初相角…这些五花八门的角经常把许多同学搞晕菜，它们都是谁跟谁的夹角？都有啥用途？它们之间又存在啥关系？什么时候该用什么角？本期就给大家捋一捋永磁同步电机里的那些角。
1 “角”是个什么东东
在几何学中，“角”就是从一个公共端点引出两条射线形成的几何对象，那个公共端点称为角的顶点，那两条射线称为角的两个边，也就是说，由一个公共顶点和两条边形成的几何图形就称为角。由此可见，“角”就是这样一种几何图形，非常直观，“实实在在”。
在三角学中，“角”又是三角函数的自变量。任意一个三角函数，如：f(θ)=sinθ的自变量θ也被称作是一种“角”，即“相位角”或简称为“相角”。这个“角”似乎就不像几何学中的“角”那么直观和“实实在在”了，这个“角”在哪里？怎么能看到它？
在直角坐标系中，以原点O为顶点，横轴OX为始边，OP为终边，就形成了∠θ，如图1所示。
设点P的坐标为(x，y)，P点到原点的距离|OP|=r，这时6个比值：y/r、x/r、y/x、x/y、r/x、r/y都由∠θ的大小确定，都是θ的函数，称它们为θ的六个三角函数，分别叫做θ的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割函数，记为：
由此可见，三角函数中的自变量也是一种“角”，这种“角”并不是几何意义上那种“实实在在”的角，而是基于三角函数的定义而构造出来的一个角，这个自变量“角”也称为三角函数的相位角。相位角变化时，其三角函数值就随之变化。这样就建立起了三角函数与“角”的联系。 看到这里可能有许多同学就懵圈了，还有让你更懵圈的。如果一个变量随着时间t按正弦规律变化，如：u=Um•sint，那么时间t就是其中的自变量，问题来了，时间是以分分秒秒为单位的，怎么和“角”扯上关系了？时间又是怎么变成“角”了呢？ 别急，接下来就讨论正弦时变物理量中的自变量时间t是怎么变成“角”的。如图1所示，如果∠θ是随时间线性变化的，设θ=ωt，那么就相当于终边OP随时间旋转起来了，于是这六个三角函数的值就都会随时间发生变化。其中ω代表终边OP旋转的角速度，在三角函数中它又被称为角频率，ω越大代表终边OP旋转得越快，三角函数随时间变化的频率就越快，这样通过将时间乘以一个角频率就变成了三角函数的相位角了。顺便解释一下前面说的那个解析式u=Um•sint，其中的时间t为什么成了一个角度，其实是因为这个解析式中的ω=1弧度/秒被隐去了，当ω=1时，ωt=1•t=t，这样t虽然是时间，但1•t其实是一个角度，只不过其数值上与时间t相等而已。 由于电机中许多物理量是随时间呈正弦或余弦规律变化的，因此，这里只讨论正弦(余弦)函数8，其余四个函数不作讨论。 2 正弦时变量的相量表示法 所谓正弦时变量是指：如果一个变量，随着时间呈正弦规律变化，那么就称这个变量为正弦时变量。由此可见，正弦时变量的数值不是一个恒定的值，而是一个随时间按正弦规律变化的函数值，这个量的大小每时每刻都在变化，要想完整确切地描述这种对应关系，就不能像一个恒定量那样仅用一个数值来简单地描述，那么需要多少个要素才能完整确切地描述出一个正弦时变量呢？我们知道，一个正弦函数具有三个要素，即幅值(或有效值)、频率(或角频率、周期)、初相角。也就是说，要想完整确切地描述一个正弦时变量，必须要用三个要素(数值)才能表达清楚。为此正弦时变量有许多种表示方法，常见的表示法有： 解析法，即用一种解析式来表示正弦时变量的方法，如：u=Um•sin(ωt φ)，其中的Um、ω、φ三个数值分别表示这个正弦交流电压的幅值、角频率和初相角等三个要素，这样就能够在任意给定时刻都能得到一个唯一确定的电压瞬时值。 图像法也是正弦时变量的常见表示方法，即在直角坐标系中画出上述正弦函数的图像(时域波形)，同样也可以完整确切地表达出这个正弦交流电压。 除此之外，正弦时变量的表示方法还有很多，例如复数表示法、相量表示法等等。当然还可以用语言表示法，即用语言直接表达出正弦函数的三个要素值，同样可以准确得到任意时刻的电压瞬时值。总之，只要是能够把正弦时变量的三个要素描述清楚，都可以看作是一种正弦时变量的表示法。 为了说明永磁同步电机中的那些角，这里重点介绍电工学里最常用的一种表示法——相量表示法。所谓相量表示法，是指一个正弦时变量的瞬时值可以用一个旋转矢量在纵轴上的投影值来表示，如图2所示。
也就是说，一个正弦时变量可以严格对应一个旋转的矢量，我们知道矢量是一个即有大小又有方向的量，因此矢量具有两个要素，一个矢量即可以在直角复平面中用复数形式来表示，例如矢量P=x jy（其中x和y分别为矢量终点在复平面中的横坐标和纵坐标）；也可以在极坐标系中用复指数形式表示，例如矢量P=r*e^jθ（其中r和θ分别为矢量在极坐标中的幅值和幅角）。由此可见无论用那种形式来表示，都只是表达出了矢量的两个要素，而正弦时变量有三个要素，因此只用一个固定的矢量显然不能完整地表达出一个正弦时变量，如果让一个矢量旋转起来，这样就在原来矢量的两个要素基础上又多了一个旋转角速度的要素，这样一个旋转的矢量就具备了三个要素。令这个旋转矢量的长度对应正弦时变量的幅值(或有效值)；旋转角速度对应正弦时变量的角频率；旋转矢量在复平面中初始幅角对应正弦时变量的初相角。这样一个旋转矢量就可以完美地把一个正弦时变量的三要素全部表示了出来，这个旋转矢量就称为正弦时变量的相量。由图2不难看出相量与正弦时变量的三要素以及瞬时值的对应关系，只要给定一个时刻，就可以通过其相量得到正弦时变量的瞬时值。 3 为什么电机里会有那么多“角” 恶补完以上基础知识后，我们进入正题，说说为什么电机里会有那么多“角”。 我们知道电机是以磁场为“桥梁”实现机电能量转换的装置，因此，电机在运行时就必然存在磁场，相应地，就需要有磁势、磁密、磁场强度等物理量来描述这个磁场，这些物理量本身就是空间旋转矢量，既然是矢量就即有大小又有方向，有方向就必然涉及到角度问题。另外电机运行时还存在电压、电流、感应电势、与绕组匝链的磁通(磁链)等正弦时变物理量，这些正弦时变物理量采用相量法表示时，也是一个旋转的矢量，同样会涉及到相角的问题。 正是由于电机中即存在许多空间矢量又存在许多时间相量，才有那么多角。其实在电机控制中，还常常将电压、电流、磁链等正弦时变物理量等效变换成旋转矢量，以便进行矢量控制。在电机运行时，这些空间矢量和时间相量之间遵循着错综复杂的数学关系(数学模型)，而它们之间的相位(角度)关系，则决定了电机的运行特性，搞清楚各物理量之间的角度(相位)关系，对分析电机的各种特性和电机的控制至关重要。把电机中的各空间矢量和时间相量画在同一个复平面的坐标系下就构成了电机的时空相矢图(有的文献也称为时空相量图或时空矢量图)，电机的时空相矢图可以直观反映电机中各空间矢量和时间相量之间相位关系，是分析电机在正弦稳态运行的有效工具。 4 永磁同步电机的时空相矢图 4.1 永磁同步电机的转子磁链矢量 通常永磁同步电机的转子上安装有永磁体，永磁体的磁链为ψf，由于转子是以同步转速旋转的，因此永磁转子的磁链也是同步旋转的。通常把永磁转子N极的轴线称为d轴(直轴)，与之超前90ᵒ电角度的轴线称为q轴(交轴)。这样就可以把永磁磁链定义为一个旋转的矢量ψf，其方向始终与d轴重合，即： ψf=ψf•e^jθᵣ ⑴ 式中：ψf为永磁磁链的幅值；θᵣ为矢量ψf在复平面中与参考轴的夹角，也就是d轴与参考轴的夹角。通常以定子绕组A相的相轴作为参考轴，由于d轴是以同步转速旋转的，因此： θᵣ=ωᵣt=ωₛt ⑵ 式中ωᵣ和ωₛ分别为转子的旋转角频率和同步角频率，由于永磁同步电机转子的转速与同步转速相等，因此ωᵣ=ωₛ。 将永磁磁链矢量ψf放在复平面中即得到如图3所示的永磁磁链矢量图，图3a)为表贴式永磁转子；图3b)为内嵌式永磁转子。
4.2 永磁同步电机定子的电磁等效处理及定子电流矢量 永磁同步电机的定子(电枢)由定子铁心和多相(以三相为例)对称绕组组成。由电机学知识可知，当三相对称绕组中通以三相对称电流时会产生一个圆形的基波旋转磁势fₛ，我们称之为“电枢磁势反应磁势”，简称“电枢磁势”。需要强调的是，fₛ是三相绕组通以三相对称电流时共同作用产生的，它表示的是沿气隙圆周呈正弦分布的一个整体，而不是作用于气隙某一点的磁势值，我们把这个在空间按正弦分布的物理量表示为一个空间矢量。这个空间矢量fₛ具有以下时空特征，第一，其空间波形仅取决于三相绕组的空间分布(空间因素)，而与定子电流无关，也就是说当三相绕组的匝数和分布形式确定后，fₛ的空间分布形状就是确定的，与定子电流的时间波形无关；第二，当三相绕组的匝数和分布形式确定后，fₛ的幅值和方向仅取决于三相定子电流(时间变量)的大小和方向，也就是说，任意波形的对称三相电流都可以产生一个空间按正弦分布的磁势，只不过在某一时刻其幅值、方向以及幅值所处的位置决定于三相电流此刻的瞬时值；第三，当三相绕组的空间分布确定，且在三相绕组中通以正弦的对称三相电流时，fₛ即是一个幅值不变的空间旋转矢量，其转速仅取决于三相电流的频率，即同步转速nₛ=60f/p，其中：f为电流频率，p为电机的极对数。 对于上述基波旋转磁势fₛ，我们可以用一个旋转的线圈通以直流电流来等效。要想实现上述的等效，这个旋转线圈相对于定子的转速必须为同步转速nₛ，旋转的线圈通以直流电流iₛ时产生的磁势幅值与三相定子绕组共同作用产生的合成基波磁势fₛ的幅值相等，其位置(旋转线圈的轴线位置)与fₛ的位置重合，这样用单个旋转线圈来替代三相定子绕组就实现了从电磁本质上的完全等效。 电流本来是一个时间变量，它是标量，并不是矢量，但经过上述等效处理，就可以把等效旋转线圈中的电流看作是一个旋转矢量，其方向与旋转矢量fₛ相同，即与等效线圈轴线重合，其大小与fₛ的幅值只差一个等效匝数倍的关系，由于本文讨论的是矢量的方向(角度)问题，故这里只关注其方向(相角)，不关注其大小。这样就把原来的标量iₛ定义为定子电流矢量iₛ了，显然它也是一个旋转矢量。 iₛ=Iₛ•e^(jθₛ) ⑶ 式中：Iₛ为定子电流矢量的幅值；θₛ为定子电流矢量的相位角(也是定子磁链矢量的相位角)。 θₛ=θᵣ β=ωᵣt β=ωₛt β ⑷ 式中：β为定子电流矢量与d轴的夹角；ωᵣ和ωₛ分别为转子的旋转角频率和定子电流矢量的旋转角频率，即同步角频率，ωᵣ=ωₛ。 经过上述等效处理后，将定子电流矢量iₛ(电枢磁势矢量fₛ)、转子永磁磁链矢量ψf同时放在复平面中，即得到如图4所示的永磁磁同步电机的等效物理模型，图4直观反映了三相定子绕组电磁等效处理过程以及定子电流矢量iₛ(电枢磁势矢量fₛ)和永磁磁链矢量ψf的相位关系。其中：图4a)为表贴式永磁转子；图4b)为内嵌式永磁转子。
4.3 永磁同步电机的矢量方程及时空相矢图 4.3.1 表贴式 对于表贴式永磁同步电机，认为气隙圆周各处的磁导均相等，电枢反应磁势在气隙任意位置产生的磁场(磁链)大小均相等。电枢反应磁链为： ψₐ=Lₛiₛ ⑸ 式中：Lₛ为定子绕组同步电感，等于定子绕组的漏电感Lₛσ与主电感Lₘ之和，即Lₛ=Lₛσ Lₘ。将电枢反应磁链与永磁磁链矢量相加即得到气隙合成磁链(也称为定子磁链)ψₛ，即： ψₛ=Lₛiₛ ψf ⑹ 根据电磁感应定律，定子电压矢量平衡方程为： uₛ=Rₛiₛ dψₛ/dt ⑺ 将式⑹代入式⑺得： uₛ=Rₛiₛ Lₛ•diₛ/dt dψf/dt ⑻ 我们先看⑻式中等号右边的最后一项，由于ψf=ψf•e^jθᵣ，θᵣ为ψf在矢量复平面中的空间相位（如图4a)所示），θᵣ=ωᵣt，于是： dψf/dt=d(ψf•e^jθᵣ)/dt =d(ψf)/dt•e^jθᵣ jωᵣψf ⑼ 式⑼中，等号右边第一项称为变压器电势项，因永磁磁链ψf为恒定值，因此该项为0；第二项称为运动电势项，是因为转子永磁磁链旋转切割定子绕组而产生的感应电势，通常又称之为空载反电势e₀。因此⑼式即变为； dψf/dt=jωᵣψf=e₀ ⑽ 再看⑻式中等号右边的第二项，由于iₛ=Iₛ•e^jθₛ，θₛ=ωₛt，于是： Lₛ•diₛ/dt=d(Iₛ•e^jθₛ)/dt =d(Iₛ)/dt•e^jθₛ jωₛLₛiₛ ⑾ 在正弦稳态下，Iₛ为恒定值(直流)，因此d(Iₛ)/dt=0，因此⑽式即变为： Lₛ*diₛ/dt=jωₛLₛiₛ ⑿ 将⑽式和⑿式代入⑻式，得到表贴式永磁电机的电压矢量平衡方程为： uₛ=Rₛiₛ jωₛLₛiₛ jωᵣψf =Rₛiₛ jωₛLₛiₛ e₀ ⒀ 需要强调的是，上述各式中黑体突出显示的各量均为空间矢量，各方程均为矢量方程。 根据永磁电机的电压矢量平衡方程式⒀，可以画出表贴式永磁同步电机的矢量等效电路(如图5a)所示)和稳态下的空间矢量(如图5b)所示)。
如前所述，各空间矢量分别是由三相绕组中的时间变量构成的，因此，各空间矢量与各时间相量之间存在着时空对应关系。根据各空间矢量的定义，在正弦稳态下，图4和图5b)中的各空间矢量的大小和相位完全取决于三相绕组中的时间相量，当空间矢量的参考轴和时间相量的参考轴都取A相相轴时，各空间矢量在空间复平面中的空间相位就分别与A相绕组中相应的时间相量在时间复平面中的时间相位相同。例如：定子电流空间矢量iₛ的空间相位与A相定子电流相量íₛ的时间相位相同；再比如：由于转子以同步转速旋转，因此永磁磁场匝链A相绕组的磁链就是一个正弦时变量，为此，我们可以把这一时变量看作一个时间相量ψf(时间相量上面应该有一个圆点“•”，因输入法原因无法加此“•”)，该相量在时间复平面中的相位也与空间矢量ψf在空间复平面中的空间相位相同。这样就可以直接把图5b)的空间矢量图转换为时间相量图，相应地，图5a)的矢量等效电路也可以转换为时间相量等效电路，如图6所示。
为了更加清晰地比较空间矢量图和时间相量图二者的对应关系，我们再次把二者放在一起，以便对比，如图7所示。
需要说明的是，图7中的空间矢量图和时间相量图中，虽然各矢量和相应的相量在相位上相同，但由于各时间相量都是指一相绕组中的时间相量，而且通常是以有效值表示的，而空间矢量则是三相绕组共同作用而产生的，因此两图中各空间矢量与相对应的时间相量的幅值并不相同，二者相差一个恒定的比例常数，由于本文旨在讨论各物理量之间的相位角度关系，因此有关其幅值大小方面的关系不在此赘述。 4.3.2 内嵌式 对于内嵌式永磁同步电机，由于气隙是不均匀的，内嵌式永磁同步电机通常Lq＞Ld，因此，同样幅值大小的电枢反应磁势作用于不同的空间位置时，产生的电枢反应磁场(磁链)并不相同。当电枢反应磁势对准q轴时，产生的电枢反应磁链最大；对准d轴时，产生的电枢反应磁链最小；电枢反应磁势即不对准q轴也不对准d轴时，产生的电枢反应磁链即介于二者之间。也就是说，在幅值相同的iₛ作用下，产生电枢反应磁链会随着iₛ空间相位角β的不同而不同。这给定量分析电枢反应磁场及其作用带来很大困难。为此，必须采用电机学中的双反应理论予以分析，即在旋转dq轴坐标系下建立数学模型，如图8所示。
首先把定子电流矢量iₛ沿d轴和q轴分解为两个分量，即： iₛ=(id j*iq)•e^jθᵣ ⒁ 然后根据双反应理论，分别求得id(fd)和iq(fq)产生的d轴电枢反应磁链和q轴电枢反应磁链。 ψₐd=Ld*id ψq=Lq*iq ⒂ 式中：Ld和Lq分别为直轴电感和交轴电感，通常Ld＜Lq。由于直轴电枢反应磁链ψₐd与永磁磁链ψf位于同一轴线上，因此二者可以直接相加即为直轴上的总磁链；而交轴上没有永磁磁链，因此交轴上只有交轴电枢反应磁链，于是得到内嵌式永磁同步电机的磁链方程： ψd=Ld*id ψf ψq=Lq*iq ⒃ 则内嵌式永磁同步电机的气隙合成磁链矢量为： ψₛ=(ψd jψq)•e^jθᵣ =(ψf Ld*id jLq*iq)•e^jθᵣ ⒄ 参照表贴式永磁同步电机电压平衡方程式⑺的推导过程(略)，可得到内嵌式永磁同步电机的电压矢量方程。 uₛ=(Rₛiₛ-ωₛLq*iq e₀ jωₛLd*id)•e^jθᵣ
⒅ 根据式⒅，即可画出内嵌式永磁同步电机的稳态矢量图，如图9所示。参照表贴式永磁同步电机同样的方法，可以把图9所示的空间矢量图转换为如图10所示的时间相量图。
5 永磁同步电机里的那些角
以上永磁同步电机的时间相量图和空间矢量图可见，永磁同步电机中存在许多角，主要包括：
① 电流相位角β。它是定子电流Iₛ(iₛ)与永磁磁链ψf(直轴)之间的夹角，也称电流角，它反映了定子电枢磁势与永磁磁链之间的位置关系，电流角β与电磁转矩之间存在密切关系，其关系如下：
Tem=p[ψf*Is*sinβ (1/2)(Ld－Lq)*Is²*sin2β] ⒆
式中：p为极对数。 式⒆被称为永磁同步电机的矩角特性，因此β也被称为转矩角，简称矩角。矩角特性反映了在给定定子电流Is情况下，电磁转矩与矩角的关系。由式⒆可见，永磁电机的电磁转矩由两部分组成，第一项p*ψf*Is*sinβ是定子电流与永磁磁场相互作用产生的转矩，称之为永磁转矩；第二项(1/2)p(Ld－Lq)Is²*sin2β是由于转子磁路的磁阻不对称（Ld≠Lq）所致，与永磁磁场无关，故称之为磁阻转矩。由式可见，永磁转矩相对于矩角β以正弦规律变化；而磁阻转矩相对于矩角β以2倍频正弦规律变化，其幅值仅与定子电流和交直轴电感之差有关，与永磁磁链无关。永磁电机的矩角特性还可用如图11所示的曲线来表示。对于表贴式的永磁电机，由于Ld=Lq，所以不存在磁阻转矩。
由图11可见，当β=0时，定子电流矢量iₛ与d轴对齐，即定子磁势与永磁磁链重合，此时不产生转矩，随着β的增大，电磁转矩将沿着曲线3增大，当β=90ᵒ时，永磁转矩达到最大值，但磁阻转矩却为0，因此此时并不是永磁电机所能达到的最大转矩值，随着β的进一步增大，永磁转矩虽然有所减小，但磁阻转矩却急剧增大，直到在β＞90ᵒ的某个值时转矩达到最大值，称此转矩为峰值转矩，因此为了充分利用磁阻转矩，内嵌式永磁同步电机往往运行在β＞90ᵒ的状态，此时Id为负值，即运行于弱磁状态。对于表贴式永磁同步电机(Ld=Lq)，磁阻转矩恒为0，在β=90ᵒ时转矩达到峰值转矩，因此对于表贴式永磁同步电机往往采用Id=0的控制策略运行。
关于永磁同步电机的矩角特性，我们可以这样来通俗地理解：想象用一个给定的磁铁作为定子磁场，将其S极对准转子的N极(d轴)，此时相当于β=0，它只会对转子产生径向吸力，不会产生转矩，如果将定子磁铁与转子d轴拉开一定的角度β，则就会产生一定的电磁转矩，随着拉开的角度增大，转矩就会随之增大，直到达到峰值转矩，之后随着拉开角度的进一步增大，转矩又会随之减小。利用上述规律，在电机控制方面，可以通过逐步改变矩角β来扫描给定电流情况下产生最大转矩时的最佳β角，这种控制策略称为最大转矩电流比(MTPA)控制策略。在电机制造完成后，可以在给定电流下通过扫描β值来标定电机的控制参数。在电机设计时，一旦确定了电机的电磁方案，可以通过仿真软件，在给定电流幅值的条件下，对电流的相位角β进行扫描，以验证峰值转矩是否达到设计要求。
② 内功率因数角γ。它是定子电流相量Iₛ(矢量iₛ)与反电势相量E₀(矢量e₀)之间的相位差，如图7、图9、图10所示。对于永磁同步电动机，反电势E₀总是超前永磁磁链ψf 90ᵒ，因此γ就与β存在固定的关系，即γ=β-90ᵒ，只要给定γ和β中的任意一个角度，就可以得知另一个。因此内功率因数角γ也是反映定子电流相位的一个角度，有些仿真软件和控制软件中就默认γ作为定子电流的相位角，利用这种软件进行电机设计仿真和试验标定时往往是扫描γ角。
需要说明的是，定子电流的相位属于状态参数，与电机的运行状态有关，对于一台制造完成的特定电机，对应不同的负载状态，β(或γ)也不同，图12给出了几种典型负载状态下的相量图【特别提醒，图12来自唐任远院士所著《现代永磁电机理论与设计》，图中未画出矩角β，而且内功率因数角并不是用γ来表示，而是用ψ来表示，特此说明】。
图12a)、图12b)、图12c)三种负载状态下矩角β都是大于90ᵒ的，定子电流超前反电势(内功率因数角γ＞0ᵒ)，定子电流的直轴分量与永磁磁链相位相反(即-Id)，说明定子电流对永磁磁场具有削弱作用，这种工作状态称为弱磁工作状态，调速永磁电机在高速时运行时，或永磁电机设计为过励时，常工作在这种状态下。上述三种弱磁状态的区别在于：图12a)的定子电流不仅超前于反电势，而且还超前于定子电压U，电动机处于容性功率因数下运行；图12b)的定子电流与定子电压U同相位，电动机处于单位功率因数(cosφ=1)下运行，对于并网运行的永磁同步电机，这种运行状态无疑是最佳的选择；图12c)的定子电流虽然超前于反电势，但滞后于定子电压U，电动机处于感性功率因数下运行。图12d)中定子电流与反电势E₀同相位，此时电枢反应即不助磁也不弱磁。图12e)中矩角β＜90ᵒ，定子电流滞后于反电势(内功率因数角γ＜0ᵒ)，定子电流的直轴分量与永磁磁链相位相同(即 Id)，说明定子电流对永磁磁场具有助磁作用，这种工作状态称为助磁工作状态，永磁同步电机工作在此状态时，需要电源提供一定的无功功率来加强磁场，但把电机设计成此状态可以减少永磁材料的用量，成本较低。
③ 功率因数角φ。功率因数角是指定子电压和电流之间的相位差，关于功率因数角φ，大家应该非常熟悉了，不再赘述。
④ 功角θ。功角θ是指空载反电势E₀与定子电压Uₛ之间的相位差，如图12所示【图7、图9、图10中未标出功角θ】。忽略定子漏阻抗时，空载反电势e₀与永磁磁链ψf垂直，定子电压Uₛ与气隙合成磁链ψₛ垂直，因此功角θ也是气隙合成磁链ψₛ与d轴的夹角。永磁同步电机恒速运行(并网)时，定子电压受电网牵制为一恒定值，电机的电磁转矩(或有功功率)就仅取决于功角θ，永磁同步电机的电磁转矩(或有功功率)与功角的关系称为永磁同步电机的功角特性，即：
Tem=mp[E₀Usinθ/(ωₛXd)＋(U²/2ωₛ)(1/Xq－1/Xd)sin2θ]
⒇
式中：m为相数；p为极对数；E₀为反电势；U为定子端电压；ωₛ为同步角速度；Xd、Xq分别为直轴和交轴电抗。
比较式⒆与式⒇，不难发现永磁同步电机的矩角特性和功角特性存在相似的形式和形状。由功角特性可见，在给定电压情况下，永磁电机的电磁转矩也由两部分组成，第一项为电压给定时的永磁转矩；第二项为电压给定时的磁阻转矩。但这里的永磁转矩和磁阻转矩与式⒆中的永磁转矩和磁阻转矩完全不同，其本质的区别就在于给定的前提条件不同，矩角特性是在给定定子电流幅值的情况下得到的电磁转矩与电流相位之间的关系；而功角特性则是在给定定子电压幅值的情况下得到的电磁转矩与电压相位之间的关系。从物理意义上讲，矩角特性反映的是电磁转矩是由定子电流在转子磁场中受力的结果，或者说是定子电枢反应磁场与转子磁场相互作用产生的电磁转矩；而功角特性则反映的是气隙合成磁场与转子磁场相互作用产生的电磁转矩。
矩角特性和功角特性都是永磁同步电机非常重要的工作特性，二者适用的前提条件不同。电压一定或给定电压情况下，例如在永磁同步电机并网运行时，通常用功角特性来分析；电流一定或给定电流情况下，例如变频器供电的永磁同步电机调速运行时，通常用矩角特性来分析。
⑤ 功率因数角φ、内功率因数角γ、功角θ三者之间的关系。由上述各空间矢量图、时间相量图不能看出，功率因数角φ、内功率因数角γ、功角θ三者之间存在着固定的关系，即：
φ=θ-γ (21)
由于永磁电机在不同工作状态下定子电流相位会大范围变化，这就涉及到(21)式中三个角度的正负定义问题，为此定义定子电流Iₛ超前于反电势E₀(即弱磁状态)时γ为正，反之为负；定子电压Uₛ超前反电势E₀(即电动机状态下)时，θ为正，反之为负；定子电流Iₛ滞后于定子电压Uₛ(即感性功率因数)时，φ为正，反之为负。
以上分析了永磁同步电机中各物理量(空间矢量和时间相量)的相位角和它们之间的相位关系，以及它们与电机电磁性能之间的关系，如果对您的学习和工作有所帮助，别忘了点赞！转发！分享！扩散！先谢谢大家！本期内容就到这里，再见！
